标签: 全国通用版2018-2019高中数学第三章三角恒等变换3.3三角函数的积化和差与和差化积练习新人教B版必修4   全国   通用版   2018   2019   高中数学   第三   三角   恒等   变换   3.3   三角函数   差化积  
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doc 3.3 三角函数的积化和差与和差化积 课时过关·能力提升 1.式子sin 15°sin 105°的值等于(  )                  A. B.- C. D.- 解析:sin 15°sin 105°=- [cos 120°-cos(-90°)]=-12-12-0=14. 答案:A 2.式子sin 20°+cos 10°可化简为(  ) A.sin 50° B.cos 50° C.3sin 50° D.3cos 50° 解析:sin 20°+cos 10°=sin 20°+sin 80°=2sin 50°cos 30°=3sin 50°. 答案:C 3.若cos(α+β)cos(α-β)=,则cos2α-sin2β等于(  ) A.- B.- C. D.23 解析:由cos(α+β)cos(α-β)=(cos αcos β-sin αsin β)·(cos αcos β+sin αsin β) =cos2αcos2β-sin2αsin2β =cos2α(1-sin2β)-sin2αsin2β =cos2α-cos2αsin2β-sin2αsin2β =cos2α-sin2β(cos2α+sin2α) =cos2α-sin2β,知cos2α-sin2β=13. 答案:C ★4.已知直角三角形中两锐角为A和B,则sin Asin B(  ) A.有最大值和最小值0 B.有最大值,但无最小值 C.既无最大值,也无最小值 D.有最大值1,但无最小值 解析:sin Asin B=- [cos(A+B)-cos(A-B)]=-12cosπ2-cos(A-B)=12cos(A-B).又0<A<π2,0<B<π2,所以-π2<A-B<π2,于是0<cos(A-B)≤1,故0<sin Asin B≤. 答案:B 5.cos 72°-cos 36°等于(  ) A.3-23 B. C.- D.- 解析:cos 72°-cos 36°=-2sin 54°sin 18°=-2sin 18°cos 36° =-2sin18°cos18°cos36°cos18° =-sin36°cos36°cos18°=-2sin36°cos36°2cos18° =-sin72°2cos18°=-sin72°2sin72°=-12. 答案:C 6.已知α-β=π3,且cos α-cos β=,则cos(α+β)等于 (  ) A. B. C. D. 解析:由于cos α-cos β=-2sinα+β2sinα-β2=-2sinα+β2sinπ6=-sinα+β2=13,因此sinα+β2=-,于是cos(α+β)=1-2sin2α+β2=1-2×-132=79. 答案:C 7.cos 20°+cos 60°+cos 100°+cos 140°的值为    .  解析:cos 20°+cos 60°+cos 100°+cos 140° =cos 20°+cos 100°+cos 140°+12 =2cos 60°cos(-40°)+cos 140°+12 =cos 40°+cos 140°+12 =cos 40°-cos 40°+12=12. 答案: 8.若cos2α-cos2β=m,则sin(α+β)sin(α-β)=    .  解析:sin(α+β)sin(α-β)=- (cos 2α-cos 2β)=- [(2cos2α-1)-(2cos2β-1)]=cos2β-cos2α=-m. 答案:-m 9.若x为锐角三角形的内角,则函数y=sinx+π3+sin x的值域为    .  解析:y=2sinx+π6cosπ6=3sinx+π6. 由条件,知π6<x+π6<2π3, 所以12<sinx+π6≤1. 所以y∈32,3. 答案:32,3 10.化简:cosα+cos3α+cos5α+cos7αsinα+sin3α+sin5α+sin7α. 解:原式=(cosα+cos7α)+(cos3α+cos5α)(sinα+sin7α)+(sin3α+sin5α) =2cos4αcos3α+2cos4αcosα2sin4αcos3α+2sin4αcosα =2cos4α(cos3α+cosα)2sin4α(cos3α+cosα)=cot 4α. ★11.已知△ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,1cosA+1cosC=-2cosB,求cosA-C2的值. 解:由题设条件知B=60°,A+C=120°, ∴-2cosB=-2cos60°=-22, ∴1cosA+1cosC=-22. 将上式化简为cos A+cos C=-22cos Acos C, 则2cosA+C2cosA-C2=-2[cos(A+C)+cos(A-C)]. 将cosA+C2=cos 60°=12,cos(A+C)=cos 120°=-12代入上式,得cosA-C2=22-2cos(A-C). 将cos(A-C)=2cos2A-C2-1代入上式并整理, 得42cos2A-C2+2cosA-C2-32=0, 即2cosA-C2-222cosA-C2+3=0. ∵22cosA-C2+3≠0, ∴2cosA-C2-2=0. ∴cosA-C2=22.

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