标签: 全国通用版2018-2019高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.4数乘向量练习新人教B版必修4   全国   通用版   2018   2019   高中数学   第二   平面   向量   2.1   线性   运算   练习   新人  
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doc 2.1.4 数乘向量 课时过关·能力提升 1.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论正确的是 (  )                  A.a与-λa的方向相反 B.|-λa|≥|a| C.a与λ2a的方向相同 D.|-λa|=|λ|a 解析:由于λ≠0,所以λ2>0,因此a与λ2a方向相同. 答案:C 2.若AP=13PB,AB=λBP,则实数λ的值是(  ) A. B.-34 C. D.- 解析:如图所示,由于AP=13PB, 所以AP=14AB, 即AB=4AP=-43BP,即λ=-43. 答案:D 3.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2OA+OB+OC=0,则(  ) A.AO=OD B.AO=2OD C.AO=3OD D.2AO=OD 解析:由2OA+OB+OC=0,可知O是底边BC上的中线AD的中点,故AO=OD. 答案:A 4.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,且E,F分别为AB,CD的中点,则(  ) A.EF=12(a+b+c+d) B.EF=12(a-b+c-d) C.EF=12(c+d-a-b) D.EF=12(a+b-c-d) 解析:如图,连接OF,OE,则EF=OF-OE=12(OC+OD)-12(OA+OB)= (c+d)- (a+b).故EF=12(c+d-a-b). 答案:C 5.在四边形ABCD中,若DC=12AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形是(  ) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 解析:由DC=12AB知DC∥AB,且|DC|=12|AB|,因此四边形ABCD是梯形.又因为|AD|=|BC|,所以四边形ABCD是等腰梯形. 答案:C 6.已知四边形ABCD为菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则AP等于(  ) A.λ(AB+AD),λ∈(0,1) B.λ(AB+BC),λ∈0,22 C.λ(AB-AD),λ∈(0,1) D.λ(AB-BC),λ∈0,22 解析:由已知得AB+AD=AC,而点P在AC上,必有|AP|<|AC|,因此AP=λ(AB+AD),且λ∈(0,1). 答案:A ★7.已知△ABC和点M满足MA+MB+MC=0.若存在实数m使得AB+AC=mAM成立,则m等于(  ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:如图,在△ABC中,设D是BC边的中点,由MA+MB+MC=0,易知M是△ABC的重心, ∴AB+AC=2AD. 又∵AD=32AM, ∴AB+AC=2AD=3AM,∴m=3.故选B. 答案:B 8.已知O为▱ABCD的中心,AB=4e1,BC=6e2,则3e2-2e1=     .  答案:BO或OD(答案不唯一) 9.如图,已知AP=43AB,若用OA,OB表示OP,则OP=     .  答案:-13OA+43OB 10.给出下面四个结论: ①对于实数p和向量a,b,有p(a-b)=pa-pb; ②对于实数p,q和向量a,有(p-q)a=pa-qa; ③若pa=pb(p∈R),则a=b; ④若pa=qa(p,q∈R,a≠0),则p=q. 其中正确结论的序号为     .  解析:①②正确;③当p=0时不正确;④可化为(p-q)a=0,∵a≠0,∴p-q=0,即p=q,∴④正确. 答案:①②④ 11.如图,L,M,N是△ABC三边的中点,O是△ABC所在平面内的任意一点,求证:OA+OB+OC=OL+OM+ON. 证明OA+OB+OC=OL+LA+OM+MB+ON+NC =(OL+OM+ON)+(LA+MB+NC) =(OL+OM+ON)+12(CA+AB+BC) =(OL+OM+ON)+0 =OL+OM+ON. 故原式成立. ★12.已知在△ABC中,AB=a,AC=b.对于△ABC所在平面内的任意一点O,动点P满足 OP=OA+λa+λb,λ∈[0,+∞).试问动点P的轨迹是否过某一个定点?并说明理由. 解:是.理由:如图,以AB,AC为邻边作▱ABDC,设对角线AD,BC交于点E,则AE=12AD=12(a+b). 由OP=OA+λa+λb,得 OP-OA=AP=2λ·12(a+b) =2λAE,λ∈[0,+∞). 故AP与AE共线. 由λ∈[0,+∞)可知动点P的轨迹是射线AE, 故动点P的轨迹必过△ABC的重心.

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