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doc 天津市和平区2019届高三数学下学期二模考试试题 理 温馨提示:本试卷包括第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。 考试时间120分钟。祝同学们考试顺利! 第Ⅰ卷 选择题(共40分) 注意事项: 1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。 2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。 3. 本卷共8小题,每小题5分,共40分。 参考公式: 如果事件互斥,那么 如果事件相互独立,那么 . 柱体的体积公式. 锥体的体积公式. 其中表示柱体的底面积, 其中表示锥体的底面积, 表示柱体的高. 表示锥体的高. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 设全集,集合,,则 (A) (B) (C) (D) 结束 开始 是 否 输入n 结束 输出 (2) 已知满足约束条件则的最小值为 (A) 2 (B) 4 (C) (D) (3) 执行如图所示的程序框图,若输入的, 则输出 (A) (B) (C) (D) (4) 下列结论错误的是 (A) 命题:“若,则”的逆否命题是“若,则” (B) “”是“”的充分不必要条件 (C) 命题:“, ”的否定是“, ” (D) 若“”为假命题,则均为假命题 (5) 的图象向右平移个单位,所得到的图象关于轴对称,则的值为 (A) (B) (C) (D) (6) 已知是定义在R上的偶函数,且在上是增函数,设 则的大小关系是 (A) (B) (C) (D) (7) 已知双曲线的右焦点为,直线与一条渐近线交于点,的面积为为原点),则抛物线的准线方程为 (A) (B) (C) (D) (8) 在中,,,点是所在平面内的一点,则当取得最小值时, (A) (B) (C) (D) 第Ⅱ卷 非选择题(共110分) 注意事项: 1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上,答在本试卷上的无效。 2. 本卷共12小题,共110分。 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上. (9) 如果(表示虚数单位),那么 . (10) 若直线与曲线(为参数)交于两点,则 . (11) 在一次医疗救助活动中,需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生,且男医生中唯一的主任医师必须参加,则不同的选派案共有 种.(用数字作答) (12) 一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为2 cm的球面上,如果该四棱柱的底面是对角线长为cm的正方形,侧棱与底面垂直,则该四棱柱的表面积为 . (13) 若不等式对任意实数都成立,则实数的最大值为 . (14) 已知函数且函数在内 有且仅有两个不同的零点,则实数的取值范围是 . 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分) 已知函数 (Ⅰ)求在上的单调递增区间; (Ⅱ)在中,分别是角的对边,为锐角,若, 且的面积为,求的最小值. (16) (本小题满分13分) 高一年级 高二年级 7 7 8 0 9 9 6 5 2 4 5 1 9 7 5 4 0 1 3 3 2 2 1 某中学图书馆举行高中志愿者检索图书的比赛,从高一、高二两个年级各抽取10名志愿者参赛。在规定时间内,他们检索到的 图书册数的茎叶图如图所示,规定册数不小于 20的为优秀. (Ⅰ) 从两个年级的参赛志愿者中各抽取两人,求抽取的4人中至少一人优秀的概率; (Ⅱ) 从高一10名志愿者中抽取一人,高二10名志愿者中抽取两人,3人中优秀人数记为,求的分布列和数学期望. (17) (本小题满分13分) 如图,正方形与梯形所在的平面互相垂直, ,,点在线段上. (Ⅰ) 若点为的中点,求证:平面; (Ⅱ) 求证:平面平面; (Ⅲ) 当平面与平面所成二面角的余弦值为时,求的长. (18) (本小题满分14分) 设椭圆的左、右焦点分别、,右顶点为,上顶点为.已知. (Ⅰ) 求椭圆的离心率; (Ⅱ) 设是椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,且经过原 点的直线与该圆相切,求直线的斜率. (19) (本小题满分13分) 已知单调等比数列中,首项为,其前n项和是,且成等差数列,数列满足条件 (Ⅰ) 求数列、的通项公式; (Ⅱ) 设,记数列的前项和. ①求 ; ②求正整数,使得对任意,均有. (20) (本小题满分14分) 已知函数,当时, 取得极小值. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)记,设是方程的实数根,若对于定义域中 任意的 .当,且时,问是否存在一个最小的正整数, 使得 |恒成立,若存在请求出的值;若不存在请说明理由. (Ⅲ)设直线,曲线.若直线与曲线同时满足下列两个条件: ① 直线与曲线相切且至少有两个切点; ② 对任意都有.则称直线为曲线的“上夹线”. 试证明:直线是曲线的“上夹线”. 和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第二次质量调查 数学(理)学科试卷参考答案 一、选择题 (每小题5分,共40分) (1) B (2) C (3) B (4) B (5) A (6) D (7) C (8) B 二、填空题 (每小题5分,共30分) (9) (10) (11) (12) (13) (14) 三、解答题 (本大题共6小题,共80分) (15) (本题13分) (Ⅰ) 解:= …… (2 分) == …… (3 分) 由,得 . … (4 分) 设,. 则. 所以,在上的单调递增区间为. ……(6 分) (Ⅱ) 解:由 得. 化简得. 又因为,解得. …… (9 分) 由题知 ,解得 …… (11 分) ,当且仅当时等号成立. 所以,的最小值为 . ……… (13 分) (16) (本题13分) (Ⅰ) 解: 由茎叶图知高一年级有4人优秀,高二年级有2人优秀. …… (1 分) 记“抽取的4人中至少有一人优秀”为事件. 则 ……… (4 分) (Ⅱ) 解: 的所有可能取值为. ……………(5 分) , ……………(6 分) , ……………(8 分) ……………(10分) ……………(11分) 0 1 2 3 ∴随机变量的分布列为 ……(12分) 的数学期望 . …………(13分) (17) (本题13分) (Ⅰ)证明: ∵正方形与梯形所在的平面互相垂直,为交线, ∴平面,由已知得两两垂直,如图建系,可得, ,,,,.…(1分) 由为的中点,知 取得. ………(2分) 易知平面的法向量为 ………(3分) ………4分) 平面 平面 ………(5分) (Ⅱ) 证明:由(Ⅰ)知 ,, 设平面的法向量为, 平面的法向量为 由 得 …(6分) 由 得…(7分) ∵.∴平面平面. …………(8 分) (Ⅲ) 解:设,设,计算得, ………(9 分) 则, 设平面的法向量为, 由 得 ………(10 分) 易知平面的法向量为, ………(11 分) 由已知得 解得,此时 ……(12 分) ,则,即的长为. …(13 分) (18) (本题13分) (Ⅰ) 解: 由 ,可得 , …………………(1分) 又,解得.则椭圆的离心率. ……………(3分) (Ⅱ) 解:由(Ⅰ)知,, .故椭圆方程为. …………(4分) 设.由,,有,. 由已知,有,即 . ……………(5分) 又 故有. ① 又因为点在椭圆上,故 ② ……………(6分) 由①和②可得.而点不是椭圆的顶点, 故.代入①得,即点的坐标为 . …………(7分) 设圆的圆心为,则, , 进而知圆的半径 . ……………(9分) 设直线的斜率为 ,依题意,直线的方程为. ……………(10分) 由与圆相切,可得,即 . ………(11分) 整理得 ,解得. 所以,直线的斜率为 或 . ………………(13分) (19) (本题14分) (Ⅰ) 解:设. 由已知得 即 进而有. 所以,即 ,则 由已知数列是单调等比数列,且 所以取 ………(3 分) 数列的通项公式为. ……………………(4分) ∵ ∴.则. 数列的通项公式为. …………………………(6 分) (Ⅱ) 解: 由(Ⅰ)得 ①设,的前项和为.则.……(7分) 又设,的前项和为. ……(8分) 则. ……(9分) 所以 ……(10分) ②令. ……(11分) 由于比变化快,所以令得. 即递增,而递减.所以,最大. ……(13分) 即当时,. ……(14分) (20) (本题14分) (1)解:由已知f′(x)=a+bcosx,于是得: …………(1分) 代入可得:a=1,b=−2. …………(2分) 此时, . 所以. 当时,; 当时,. …………(3分) 所以当x=时,f(x)取得极小值, 即a=1,b=−2符合题意. ……(4分) (Ⅱ) 解:,则>0. 所以 . 为的根,即,也即 ……(5分) ∴, ……(7分) ∴=|h(1)−h(−1)|=1+<2 所以存在这样最小正整数M=2使得恒成立 ……(9分) (Ⅲ) 证明:由f′(x)=1−2cosx=1,得cosx=0, 当x=时,,cosx=0此时 所以是直线与曲线S的一个切点,, ……(10分) 当x=,cosx=0此时, 所以)也是直线与曲线S的一个切点, ……(11分) 即直线与曲线S相切且至少有两个切点. ……(12分) 对任意x∈R, g(x)−f(x)=(x+2)−(x−2sinx)=2+2sinx0 ……(13分) 即g(x),因此直线:y=x+2是曲线S:y=ax+bsinx的“上夹线” …(14分)