标签: 全国通用版2018-2019高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.2向量数量积的运算律练习新人教B版必修4   全国   通用版   2018   2019   高中数学   第二   平面   向量   2.3   数量   运算  
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doc 2.3.2 向量数量积的运算律 课时过关·能力提升 1.已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是(  )                  A.a∥b B.a⊥b C.|a|=|b| D.a+b=a-b 解析:|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2, |a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2. 因为|a+b|=|a-b|, 所以|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+|b|2, 即2a·b=-2a·b, 所以a·b=0, 所以a⊥b.故选B. 答案:B 2.设向量a,b,c满足a+b+c=0,a⊥b,|a|=1,|b|=2,则|c|2等于(  ) A.1 B.2 C.4 D.5 解析:由a+b+c=0得c=-(a+b), 于是|c|2=|-(a+b)|2=|a|2+2a·b+|b|2=1+4=5. 答案:D 3.已知|a|=3,|b|=4,且(a+kb)⊥(a-kb),则实数k的值为(  ) A.± B.±43 C.± D.± 解析:由(a+kb)⊥(a-kb)知(a+kb)·(a-kb)=0, 即|a|2-k2|b|2=0, 因此9-16k2=0,所以k=±34. 答案:A 4.已知a,b是非零向量,满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b的夹角是(  ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 解析:由已知得(a-2b)·a=0, 因此|a|2-2a·b=0. 同理(b-2a)·b=0,即|b|2-2a·b=0, 于是有|a|=|b|,且a·b=12|a|2, 从而cos<a,b>=a·b|a||b|=12|a|2|a||a|=12, 又<a,b>∈[0,π],所以a与b的夹角为π3. 答案:B 5.如图,在菱形ABCD中,下列关系式不正确的是(  ) A.AB∥CD B.(AB+BC)⊥(BC+CD) C.(AB-AD)·(BA-BC)=0 D.AB·AD=BC·CD 解析:由于AB=DC,AD=BC, 所以AB·AD=DC·BC,故D项不正确. 答案:D 6. 如图,在△ABC中,AD⊥AB,BC=3 BD,|AD|=1,则AC·AD等于 (  ) A.23 B.32 C.33 D.3 解析:由图可得AC·AD=(AB+BC)·AD=AB·AD+BC·AD. ∵AD⊥AB,∴AB·AD=0. 又∵BC=3 BD, ∴BC·AD=3 BD·AD=3(BA+AD)·AD=0+3|AD|2=3.∴AC·AD=0+3=3. 答案:D 7.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为π3,以a,b为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条对角线的长度为     .  答案:3 8.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i·j=0,|i|=|j|=1,则a·b=     .  答案:-63 9.设O,A,B,C为平面上的四个点,OA=a,OB=b,OC=c,且a+b+c=0,a·b=b·c=c·a=-1,则|a|+|b|+|c|=     .  答案:32 10.在边长为1的等边三角形ABC中,设BC=2BD,CA=3CE,则AD·BE=     .  解析:由已知得AD=12(AB+AC),AE=23AC,BE=BA+AE=23AC-AB, 所以AD·BE=12(AB+AC)·23AC-AB=12×23|AC|2-|AB|2-13AB·AC=12×23-1-13cos60°=-14. 答案:- ★11.设a⊥b,且|a|=2,|b|=1,k,t是两个不同时为零的实数. (1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直,求k关于t的函数关系式k=f(t); (2)求出函数k=f(t)的最小值. 解:(1)∵a⊥b,∴a·b=0. 又x⊥y,∴x·y=0, 即[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0, ∴-ka2-k(t-3)a·b+ta·b+t(t-3)b2=0. ∵|a|=2,|b|=1, ∴-4k+t2-3t=0, ∴k=14(t2-3t)(t≠0), 即k=f(t)=14(t2-3t)(t≠0). (2)由(1)知k=f(t)=14(t2-3t) =14t-322-916, 故函数k=f(t)的最小值为-916. ★12.已知|a|=2,|b|=1,向量a与b的夹角为45°,求使向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角为锐角的λ的取值范围. 解:设向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角为θ. ∵两向量的夹角为锐角, ∴(2a+λb) ·(λa-3b)|2a+λb||λa-3b|>0, ∴(2a+λb)·(λa-3b)>0, 即2λa2+(λ2-6)a·b-3λb2>0. ∵a2=|a|2=2,b2=|b|2=1, a·b=|a||b|cos 45°=2×1×22=1, ∴4λ+λ2-6-3λ>0, 即λ2+λ-6>0,∴λ<-3或λ>2. 设2a+λb=k(λa-3b)=kλa-3kb, ∴2=kλ,λ=-3k,∴λ2=-6,则λ不存在, 即向量(2a+λb)与(λa-3b)不共线. ∴使向量(2a+λb)与(λa-3b)的夹角为锐角的λ的取值范围为λ<-3或λ>2.

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