标签: 全国通用版2018-2019高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式练习新人教B版必修4   全国   通用版   2018   2019   高中数学   第二   平面   向量   2.3  
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doc 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式 课时过关·能力提升 1.已知a=(2,-3),b=(1,-2),且c⊥a,b·c=1,则c的坐标为(  )                  A.(3,-2) B.(3,2) C.(-3,-2) D.(-3,2) 解析:设c=(x,y),则有2x-3y=0,x-2y=1, 解得x=-3,y=-2.故c=(-3,-2). 答案:C 2.已知m=(a,b),向量n与m垂直,且|m|=|n|,则n的坐标为(  ) A.(b,-a) B.(-a,b) C.(-a,b)或(a,-b) D.(b,-a)或(-b,a) 答案:D 3.已知点A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),则四边形ABCD是(  ) A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 解析:由已知得AB=(3,-2),BC=(4,6),CD=(-3,2), 所以AB=DC,且AB·BC=0, 即AB⊥BC,所以四边形ABCD是矩形. 答案:B 4.已知向量a=(cos θ,sin θ),b=(3,0),则|2a-b|的最大值为(  ) A.42 B.22 C.25 D.5 解析:|2a-b|=(2a-b)2=4-4×3cos<2a,b>+9=13-12cos<2a,b>, 因此当cos<2a,b>=-1时,|2a-b|取得最大值5. 答案:D 5.在Rt△ABC中,∠C=π2,AC=3,取点D使BD=2DA,则CD·CA等于(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:以C为原点,分别以CA,CB所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设CB=a, ∴C(0,0),A(3,0),B(0,a). 设D点坐标为(m,n), ∵BD=2DA, 即(m,n-a)=2(3-m,-n),得m=2,n=a3. ∴CD·CA=2,a3·(3,0)=6,故选D. 答案: D 6.已知O为坐标原点,OA=(3,1),OB=(-1,2),OC⊥OB,BC∥OA,则满足OD+OA=OC的向量OD的坐标为     .  答案:(11,6) 7.设O为原点,已知点A(a,0),B(0,a)(a>0),点P在线段AB上,且AP=tAB(0≤t≤1),则OA·OP的最大值为     .  解析:OA·OP=OA·(OA+AP)=OA·(OA+tAB)=OA2+tOA·AB=a2+t(a,0)·(-a,a)=a2+t(-a2+0)=(1-t)a2. ∵0≤t≤1,∴0≤1-t≤1, ∴OA·OP的最大值为a2. 答案:a2 8.以原点及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,使∠B=90°,求点B和向量AB的坐标. 解:如图,设点B的坐标为(x,y),则OB=(x,y),AB=(x-5,y-2). ∵OB⊥AB, ∴x(x-5)+y(y-2)=0, 即x2+y2-5x-2y=0. ∵|OB|=|AB|, ∴x2+y2=(x-5)2+(y-2)2, 即10x+4y=29. 解方程组x2+y2-5x-2y=0,10x+4y=29, 得x1=72,y1=-32或x2=32,y2=72. ∴点B的坐标为72,-32或32,72; 当点B的坐标为72,-32时,AB=-32,-72; 当点B的坐标为32,72时,AB=-72,32. 综上,点B的坐标为72,-32,AB=-32,-72, 或点B的坐标为32,72,AB=-72,32. ★9.已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且|ka+b|=3|a-kb|(k>0). (1)用k表示数量积a·b; (2)求a·b的最小值,并求此时a,b的夹角θ. 解:(1)由|ka+b|=3|a-kb|, 得(ka+b)2=3(a-kb)2, ∴k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2. ∴(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0. ∵|a|=1,|b|=1, ∴k2-3+8ka·b+1-3k2=0, ∴a·b=2k2+28k=k2+14k. (2)由(1),得a·b=k2+14k=14k+1k,由函数的单调性的定义,易知f(k)=14k+1k在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,故当k=1时,a·b的最小值为f(1)=14×(1+1)=12.此时a,b的夹角为θ,则cos θ=a·b|a||b|=121=12,∴θ=60°. ★10. 如图,AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(-2,- 3),BC∥DA. (1)求x与y的关系式; (2)若AC⊥BD,求x,y的值及四边形ABCD的面积. 解:(1)∵AD=AB+BC+CD=(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(x+4,y-2), ∴DA=-AD=(-x-4,2-y). ∵BC∥DA,BC=(x,y), ∴x(2-y)-(-x-4)y=0, ∴x与y的关系式为x+2y=0. (2)因为AC=AB+BC=(6,1) +(x,y)=(x+6,y+1),BD=BC+CD=(x,y)+(-2,-3)=(x-2,y-3). ∵AC⊥BD,∴AC·BD=0, 即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0. 又由(1)的结论x+2y=0, 得(6-2y)(-2y-2)+(y+1)(y-3)=0. 化简,得y2-2y-3=0. ∴y=3或y=-1. ①当y=3时,x=-6,于是BC=(-6,3),AC=(0,4),BD=(-8,0). ∴|AC|=4,|BD|=8. ∴S四边形ABCD=12|AC||BD|=16. ②当y=-1时,x=2, 于是有BC=(2,-1),AC=(8,0),BD=(0,-4), ∴|AC|=8,|BD|=4. ∴S四边形ABCD=12|AC||BD|=16. 综上,x=-6,y=3或x=2,y=-1,四边形ABCD的面积为16.

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