标签: 全国通用版2018-2019高中数学第二章平面解析几何初步2.4空间直角坐标系练习新人教B版必修2   全国   通用版   2018   2019   高中数学   第二   平面   解析几何   初步   2.4   空间   直角   坐标系   练习  
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doc 2.4 空间直角坐标系 1在空间直角坐标系中,P(2,3,4),Q(-2,3,-4)两点的位置关系是(  ) A.关于x轴对称 B.关于yOz平面对称 C.关于坐标原点对称 D.关于y轴对称 解析:因为P,Q两点的y坐标相同,x,z坐标分别互为相反数,它们的中点在y轴上,并且PQ与y轴垂直,故P,Q关于y轴对称. 答案:D 2已知三点A(-1,0,1),B(2,4,3),C(5,8,5),则(  ) A.三点构成等腰三角形 B.三点构成直角三角形 C.三点构成等腰直角三角形 D.三点不能构成三角形 解析:因为|AB|=9+16+4=29,|BC|=9+16+4=29,|AC|=36+64+16=229, 所以|AC|=|AB|+|BC|. 所以三点不能构成三角形. 答案:D 3已知空间一点P在xOy平面上的射影为M(1,2,0),在xOz平面上的射影为N(1,0,3),则P在yOz平面上的射影Q的坐标为(  )                  A.(1, 2,3) B.(0,0,3) C.(0,2,3) D.(0,1,3) 解析:由P点在xOy平面上的射影,知xP=1,yP=2,在xOz平面上的射影为N(1,0,3),知xP=1,zP=3. 故P(1,2,3)在yOz平面上的射影为Q(0,2,3). 答案:C 4已知A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则A,B两点间距离的最小值是(  ) A.55 B.555 C.355 D.115 解析:因为d(A,B) =[2-(1-t)]2+[t-(1-t)]2+(t-t)2 =(1+t)2+(2t-1)2+0 =5t2-2t+2=5t-152+95≥355, 所以A,B两点间距离的最小值是355. 答案:C 5如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,棱长为1,点P在对角线BD'上,且BP=BD',则点P的坐标为(  ) A.13,13,13 B.23,23,23 C.13,23,13 D.23,23,13 解析:点P在坐标平面xDy上的射影落在BD上. 因为BP=13BD',所以Px=Py=23,Pz=13. 故点P的坐标为23,23,13. 答案:D 6在空间直角坐标系中,若点P在x轴上,它到P1(0,2,3)的距离为23,则点P的坐标为     .  解析:设P(x,0,0),则x2+2+9=23,解得x=±1,故P点坐标为(±1,0,0). 答案:(±1,0,0) 7在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,-2),B(1,-3,1),点B关于坐标平面xOy的对称点为B1,则|AB1|=    .  答案:10 8若半径为r的球在第Ⅲ卦限内,且与各坐标平面均相切,则球心的坐标是     .  解析:由第Ⅲ卦限内的各坐标的符号正负可得. 答案:(-r,-r,r) 9若点P(x,y,z)到A(1,0,1),B(2,1,0)两点的距离相等,则x,y,z满足的关系式是     ,猜想它表示的图形是     .  解析:由两点间距离公式得(x-1)2+y2+(z-1)2=(x-2)2+(y-1)2+z2,化简得2x+2y-2z-3=0,由几何图形的性质知这个方程表示线段AB的中垂面. 答案:2x+2y-2z-3=0 线段AB的中垂面 10已知A(3,3,1),B(1,0,5),求: (1)d(A,B); (2)线段AB的中点坐标; (3)到A,B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件. 解(1)由空间两点间的距离公式,得 d(A,B)=(3-1)2+(3-0)2+(1-5)2=29. (2)线段AB的中点坐标为3+12,3+02,1+52, 即为2,32,3. (3)点P(x,y,z)到A,B的距离相等, 则(x-3)2+(y-3)2+(z-1)2 =(x-1)2+(y-0)2+(z-5)2,化简得4x+6y-8z+7=0,即到A,B距离相等的点P的坐标(x,y,z)满足的条件是4x+6y-8z+7=0. 11如图,在长方体OABC-D'A'B'C'中,OA=3,OC=4,OD'=3,A'C'与B'D'相交于点P,分别写出点C,B',P的坐标. 解根据题意,得点C在y轴上,因为OC=4,所以点C的坐标为(0,4,0);点B'的横坐标与点A的横坐标相同,因为OA=3,所以点B'的横坐标为3,点B'的纵坐标与点C的纵坐标相同,所以点B'的纵坐标为4,点B'的竖坐标与点D'的竖坐标相同,因为OD'=3,所以点B'的竖坐标为3,所以点B'的坐标为(3,4,3).点P的横坐标为点A横坐标的一半,纵坐标为点C纵坐标的一半,竖坐标与点D'的竖坐标相同,因此,点P的坐标为32,2,3. 综上所述:C(0,4,0),B'(3,4,3),P32,2,3. ★12如图,AF,DE分别是☉O,☉O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,AD=8,BC是☉O的直径,AB=AC=6,OE∥AD,试建立适当的空间直角坐标系,求出点A,B,C,D,E,F的坐标. 解因为AD与两圆所在的平面均垂直,OE∥AD, 所以OE⊥平面ABC, 又因为AF⊂平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以OE⊥AF,OE⊥BC, 又因为BC是圆O的直径,所以OB=OC, 又因为AB=AC=6,所以OA⊥BC,BC=62, 所以OA=OB=OC=OF=32. 如图,以O为原点,以OB,OF,OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系, 则A(0,-32,0),B(32,0,0),C(-32,0,0),D(0,-32,8),E(0,0,8),F(0,32,0). ★13如图,以正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在正方体的对角线AB上,点Q在正方体的棱CD上. (1)当点P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,探究|PQ|的最小值; (2)当点Q为棱CD的中点,点P在对角线AB上运动时,探究|PQ|的最小值; (3)当点P在对角线AB上运动,点Q在棱CD上运动时,探究|PQ|的最小值. 由以上问题,你得到了什么结论,你能证明你的结论吗? 解设正方体的棱长为a. (1)当点P为对角线AB的中点时,点P的坐标是a2,a2,a2.因为点Q在线段CD上,设Q(0,a,z), |PQ|=a22+a2-a2+a2-z2 =z-a22+12a2. 当z=a2时,|PQ|的最小值为22a,即点Q为棱CD的中点时,|PQ|有最小值22a. (2)因为P在对角线AB上运动,Q是定点,所以当PQ⊥AB时,|PQ|最短.因为当点Q为棱CD的中点时,|AQ|=|BQ|,△QAB是等腰三角形,所以当P是AB的中点时,|PQ|取得最小值22a. (3)当点P在对角线AB上运动,点Q在棱CD上运动时,|PQ|的最小值仍然是22a. 证明如下:如图,设P(x,y,z1).由正方体的对称性,显然有x=y.设P在平面xOy上的射影是H. 在△AOB中,HPOB=HAOA,所以z1a=a-xa,即有x=a-z1.则点P的坐标是(a-z1,a-z1,z1). 由已知,可设Q(0,a,z2),则 |PQ|=(a-z1)2+(-z1)2+(z1-z2)2 =(z2-z1)2+2z1-a22+a22. 当z2=z1=a2时,|PQ|取得最小值,最小值是22a.

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