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2019-2020年高二数学 1、2-2-2双曲线的简单几何性质同步练习 新人教A版选修1-1.doc

 版权申诉  doc 2019-2020年高二数学 1、2-2-2双曲线的简单几何性质同步练习 新人教A版选修1-1 一、选择题 1.已知双曲线与椭圆+=1共焦点,它们的离心率之和为,双曲线的方程应是 (  ) A.-=1       B.-=1 C.-+=1 D.-+=1 [答案] C [解析] ∵椭圆+=1的焦点为(0,±4),离心率e=, ∴双曲线的焦点为(0,±4),离心率为-==2, ∴双曲线方程为:-=1. 2.焦点为(0,±6)且与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程是(  ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 [答案] B [解析] 与双曲线-y2=1有共同渐近线的双曲线方程可设为-y2=λ(λ≠0), 又因为双曲线的焦点在y轴上, ∴方程可写为-=1. 又∵双曲线方程的焦点为(0,±6), ∴-λ-2λ=36.∴λ=-12. ∴双曲线方程为-=1. 3.若0<k<a,则双曲线-=1与-=1有(  ) A.相同的实轴 B.相同的虚轴 C.相同的焦点 D.相同的渐近线 [答案] C [解析] ∵0<k<a,∴a2-k2>0. ∴c2=(a2-k2)+(b2+k2)=a2+b2. 4.中心在坐标原点,离心率为的双曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为(  ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x [答案] D [解析] ∵=,∴==,∴=, ∴=,∴=. 又∵双曲线的焦点在y轴上, ∴双曲线的渐近线方程为y=±x, ∴所求双曲线的渐近线方程为y=±x. 5.(xx·四川文,8)已知双曲线-=1(b>0)的左右焦点分别为F1、F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在该双曲线上,则·=(  ) A.-12 B.-2 C.0 D.4 [答案] C [解析] 本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质. 由题意得b2=2,∴F1(-2,0),F2(2,0), 又点P(,y0)在双曲线上,∴y=1, ∴·=(-2-,-y0)·(2-,-y0)=-1+y=0,故选C. 6.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍,则双曲线的渐近线方程为(  ) A.y=±x B.y=±2x C.y=±x D.y=±3x [答案] B [解析] 如图, 分别过双曲线的右顶点A,右焦点F作它的渐近线的垂线,B、C分别为垂足,则△OBA∽△OCF, ∴==, ∴=,∴=2, 故渐近线方程为:y=±2x. 7.双曲线-=1的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为(  ) A.2 B. C. D. [答案] C [解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直,则渐近线方程为:y=±x, ∴=1,∴==1, ∴c2=2a2,e==. 8.双曲线-=1的一个焦点到一条渐近线的距离等于(  ) A. B.3 C.4 D.2 [答案] C [解析] ∵焦点坐标为(±5,0),渐近线方程为y=±x,∴一个焦点(5,0)到渐近线y=x的距离为4. 9.过双曲线-=1(a>0,b>0)上任意一点P引与实轴平行的直线,交两渐近线于M、N两点,则·的值为(  ) A.a2 B.b2 C.2ab D.a2+b2 [答案] A [解析] 特值法:当点P在双曲线的一个顶点时,·=a2. 10.(xx·浙江理,8)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近方程为(  ) A.3x±4y=0 B.3x±5y=0 C.4x±3y=0 D.5x±4y=0 [答案] C [解析] 如图:由条件|F2A|=2a,|F1F2|=2c 又知|PF2|=|F1F2|,知A为PF1中点,由a2+b2=c2,有|PF1|=4b由双曲线定义: |PF1|-|PF2|=2a,则4b-2c=2a ∴2b=c+a,又有c2=a2+b2,(2b-a)2=a2+b2, ∴4b2-4ab+a2=a2+b2 3b2=4ab,∴=, ∴渐近线方程:y=±x.故选C. 二、填空题 11.双曲线+=1的离心率e∈(1,2),则b的取值范围是________. [答案] -12<b<0 [解析] ∵b<0,∴离心率e=∈(1,2), ∴-12<b<0. 12.椭圆+=1与双曲线-y2=1焦点相同,则a=________. [答案]  [解析] 由题意得4-a2=a2+1,∴2a2=3,a=. 13.双曲线以椭圆+=1的焦点为焦点,它的离心率是椭圆离心率的2倍,求该双曲线的方程为________. [答案] -=1 [解析] 椭圆+=1中,a=5,b=3,c2=16, 焦点为(0,±4),离心率e==, ∴双曲线的离心率e1=2e=, ∴==,∴a1=, ∴b=c-a=16-=, ∴双曲线的方程为-=1. 14.(xx·全国Ⅱ文,8改编)双曲线-=1的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则r=________. [答案]  [解析] 本题考查双曲线的几何性质、直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式. 双曲线-=1的渐近线方程为y=±x=±x, ∴x±2y=0,由题意,得r==. 三、解答题 15.已知动圆与⊙C1:(x+3)2+y2=9外切,且与⊙C2:(x-3)2+y2=1内切,求动圆圆心M的轨迹方程. [解析] 设动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r, 则|MC1|=r+3,|MC2|=r-1, ∴|MC1|-|MC2|=r+3-r+1=4<|C1C2|=6, 由双曲线的定义知,点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支,且2a=4,a=2, 双曲线的方程为:-=1(x≥2). 16.已知双曲线-=1(a>0,b>0)过点A(,),且点A到双曲线的两条渐近线的距离的积为.求此双曲线方程. [解析] 双曲线-=1的两渐近线的方程为bx±ay=0. 点A到两渐近线的距离分别为 d1=,d2= 已知d1d2=,故=(ⅰ) 又A在双曲线上,则 14b2-5a2=a2b2(ⅱ) (ⅱ)代入(ⅰ),得3a2b2=4a2+4b2(ⅲ) 联立(ⅱ)、(ⅲ)解得b2=2,a2=4. 故所求双曲线方程为-=1. 17.如下图,已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,求双曲线的离心率. [解析] 设MF1的中点为P,在Rt△PMF2中,|PF2|=|MF2|·sin60°=2c·=c.又由双曲线的定义得|PF2|-|PF1|=2a,所以a=c,e===+1. 18.是否存在同时满足下列条件的双曲线,若存在,求出其方程;若不存在,说明理由. (1)渐近线方程为x+2y=0及x-2y=0; (2)点A(5,0)到双曲线上动点P的距离的最小值为. [解析] 假设存在同时满足题中的两条件的双曲线. (1)若双曲线的焦点在x轴上,因为渐近线方程为 y=±x,所以由条件(1),设双曲线方程为-=1, 设动点P的坐标为(x,y),则|AP|==,由条件(2),若2b≤4,即b≤2,则当x=4时,|AP|最小==,b2=-1,这不可能,无解;若2b>4,则当x=2b时,|AP|最小=|2b-5|=,解得b=,此时存在双曲线方程为-=1. (2)若双曲线的焦点在y轴上,则可设双曲线方程为-=1(x∈R), 所以|AP|=, 因为x∈R, 所以当x=4时,|AP|最小==. 所以a2=1,此时存在双曲线方程为y2-=1.














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