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doc 2019-2020年高二数学 1、3-1-2导数的几何意义同步练习 新人教A版选修1-1 一、选择题 1.曲线y=x3-3x在点(2,2)的切线斜率是(  ) A.9          B.6 C.-3 D.-1 [答案] A [解析] Δy=(2+Δx)3-3(2+Δx)-23+6=9Δx+6Δx2+Δx3, =9+6Δx+Δx2, = (9+6Δx+Δx2)=9, 由导数的几何意可知,曲线y=x3-3x在点(2,2)的切线斜率是9. 2.曲线y=x3-2在点(-1,-)处切线的倾斜角为(  ) A.30° B.45° C.135° D.60° [答案] B [解析] Δy=(-1+Δx)3-×(-1)3=Δx-Δx2+Δx3,=1-Δx+Δx2, = (1-Δx+Δx2)=1, ∴曲线y=x3-2在点处切线的斜率是1,倾斜角为45°. 3.函数y=-在点(,-2)处的切线方程是(  ) A.y=4x B.y=4x-4 C.y=4(x+1) D.y=2x+4 [答案] B [解析] Δy=,=, =4, ∴切线的斜率为4.∴切线方程为y=4-2=4x-4. 4.如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么(  ) A.f′(x0)>0 B.f′(x0)<0 C.f′(x0)=0 D.f′(x0)不存在 [答案] B [解析] 由导数的几何意义可知f′(x0)=-<0,故选B. 5.下列说法正确的是(  ) A.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处就没有切线 B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)必存在 C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在 D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在,则曲线在该点处就没有切线 [答案] C [解析] 由于对导数在某点处的概念及导数的几何意义理解不透彻,不能认真分析题中所给选项,事实上A、B是一样的.它们互为逆否命题,讨论的是“f′(x0)存在与否”与切线存在与否的关系,而在导数的几何意义中讨论的是“切线的斜率”与“f′(x0)”,得C是正确的,而A、B、D都是不正确的,可一一举例说明. 6.设f(x)为可导函数且满足 =-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为(  ) A.2 B.-1 C.1 D.-2 [答案] B [解析]  = = =f′(1)=-1. 7.在曲线y=x2上的点________处的倾斜角为(  ) A.(0,0) B.(2,4) C.(,) D.(,) [答案] D [解析] 倾斜角的正切值即为斜率,设点(x0,y0) 则k=y′|x=x0= = = (2x0+Δx)=2x0=1, ∴x0=,y0=x=,∴点坐标(,). 8.若函数f(x)的导数为f′(x)=-sinx,则函数图像在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为 (  ) A.90° B.0° C.锐角 D.钝角 [答案] C [解析] 函数图像在点(4,f(4))处的切线斜率为f′(4)=-sin4>0,所以函数图像在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为锐角. 9.曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x-1,则点P0的坐标是(  ) A.(0,1) B.(-1,-5) C.(1,0)或(-1,-4) D.(0,1)或(4,1) [答案] C [解析] k= = =[3x+3x0Δx+(Δx)2+1] =3x+1=4, ∴3x=3,即x0=±1, ∴点P0的坐标为(1,0)或(-1,-4). 10.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a等于(  ) A.1 B. C.- D.-1 [答案] A [解析] ∵y′|x=1= = = (2a+aΔx)=2a, ∴2a=2,∴a=1. 二、填空题 11.已知函数f(x)=x3+2,则f′(2)=________. [答案] 12 [解析] f′(2)= = =[4+4Δx+(Δx)2+4+2Δx+4] =[12+6Δx+(Δx)2]=12. 12.曲线y=x2-3x的一条切线的斜率为1,则切点坐标为________. [答案] (2,4) [解析] 设切点坐标为(x0,y0), y′|x=x0= = =2x0-3=1=k, 故x0=2,y0=x=4,故切点坐标为(2,4). 13.曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴,x=2所围成的三角形的面积为________. [答案]  [解析] y′= =3x2,所以k=y′|x=1=3×1=3,所以在点(1,1)处的切线方程为y=3x-2,它与x轴的交点为,与x=2的交点为(2,4),所以S=××4=. 14.曲线y=x3+x+1在点(1,3)处的切线是________. [答案] 4x-y-1=0 [解析] 因为y′ = =3x2+1, 所以k=y′|x=1=3+1=4,所以切线的方程为y-3=4(x-1),即4x-y-1=0. 三、解答题 15.求曲线y=x2+3x+1在点(1,5)处的切线的方程. [分析] →→ [解析] y′|x=1 = = = (5+Δx)=5, 即切线的斜率k=5, ∴曲线在点(1,5)处的切线方程为y-5=5(x-1) 即5x-y=0. 16.直线l:y=x+a(a≠0)和曲线C:y=x3-x2+1相切. (1)求a的值; (2)求切点的坐标. [解析] 设直线l与曲线C相切于P(x0,y0)点. f′(x)= = =3x2-2x. 由题意知,k=1,即3x-2x0=1,解得x0=-或x0=1. 于是切点的坐标为或(1,1). 当切点为时,=-+a,a=; 当切点为(1,1)时,1=1+a,a=0(舍去). ∴a的值为,切点坐标为(-,). [点评] 利用曲线在一点处的导数等于在这一点的切线的斜率,确定出切点. 17.求过点(2,0)且与曲线y=相切的直线方程. [解析] 易知(2,0)不在曲线y=上,令切点为(x0,y0),则有y0=. 又y′= = =-, 所以y′|x=x0=-, 即切线方程为y=-(x-2)① 而=-② 由①②可得x0=1, 故切线方程为y+x-2=0. 18.曲线y=x2-3x上的点P处的切线平行于x轴,求点P的坐标. [解析] 设P(x0,y0), Δy=(x+Δx)2-3(x+Δx)-(x2-3x) =2x·Δx+(Δx)2-3Δx, ==2x+Δx-3. = (2x+Δx-3)=2x-3, ∴y′|x=x0=2x0-3,令2x0-3=0得x0=, 代入曲线方程得y0=-, ∴P.

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