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2019-2020年高二数学 1、3-3-1函数的单调性与导数同步练习 新人教A版选修1-1.doc

 版权申诉  doc 2019-2020年高二数学 1、3-3-1函数的单调性与导数同步练习 新人教A版选修1-1 一、选择题 1.设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则f(x)为增函数的一个充分条件是(  ) A.b2-4ac>0      B.b>0,c>0 C.b=0,c>0 D.b2-3ac>0 [答案] C 2.函数f(x)=2x2-lnx的单调递增区间是(  ) A.(0,) B.(0,) C.(,+∞) D.(-,0)及(0,) [答案] C [解析] 函数f(x)的定义域为(0,+∞), f′(x)=4x-,令f′(x)>0,得x>, ∴函数f(x)在上单调递增. 3.(xx·广东文,8)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(  ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) [答案] D [解析] 考查导数的简单应用. f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex, 令f′(x)>0,解得x>2,故选D. 4.函数y=xsinx+cosx,x∈(-π,π)的单调增区间是(  ) A.和 B.和 C.和 D.和 [答案] A [解析] y′=xcosx,当-π<x<-时, cosx<0,∴y′=xcosx>0, 当-<x<0时,cosx>0,∴y′=xcosx<0. 当0<x<时,cosx>0,∴y′=xcosx>0. 5.函数f(x)=ax3-x在R上为减函数,则(  ) A.a≤0 B.a<1 C.a<2 D.a≤ [答案] A [解析] f′(x)=3ax2-1≤0恒成立,即a≤0. 6.已知a>0,函数f(x)=-x3+ax在[1,+∞)上是单调减函数,则a的最大值为(  ) A.1     B.2     C.3     D.4 [答案] C [解析] f′(x)=-3x2+a≤0,∴a≤3x2. ∴a≤3. 7.设f(x)在(a,b)内可导,则f′(x)<0是f(x)在(a,b)上单调递减的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] A 8.若函数y=x2-2bx+6在(2,8)内是增函数,则(  ) A.b≤2 B.b<2 C.b≥2 D.b>2 [答案] A [解析] 函数y=x2-2bx+6的对称轴为x=b,要使函数在(2,8)内是增函数,应有b≤2成立. 9.(xx·湖南文,7)若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是(  ) [答案] A [解析] 考查导函数的基本概念及导数的几何意义. ∵导函数f′(x)是增函数, ∴切线的斜率随着切点横坐标的增大,逐渐增大, 故选A. [点评] B图中切线斜率逐渐减小,C图中f′(x)为常数,D图中切线斜率先增大后减小. 10.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能为(  ) [答案] D [解析] 函数y=f(x)在区间(-∞,0)上单调增,则导函数y=f′(x)在区间(-∞,0)上函数值为正,排除A、C,原函数y=f(x)在区间(0,+∞)上先增,再减,最后再增,其导函数y=f′(x)在区间(0,+∞)上函数值先正,再负,再正,排除B,故选D. 二、填空题 11.函数y=x3-x2-x的单调递增区间为________. [答案] (-∞,-),(1,+∞) [解析] ∵y′=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1), ∴由y′>0得,x>1或x<-. 12.若函数y=x3-ax2+4在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围是____________. [答案] [3,+∞) [解析] y′=3x2-2ax,由题意知3x2-2ax≤0在区间(0,2)内恒成立, 即a≥x在区间(0,2)上恒成立,∴a≥3. 13.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则m的取值范围是________. [答案] m≥ [解析] 因为f(x)=x3+x2+mx+1在R上单调,所以f′(x)=3x2+2x+m,由题意可知f(x)在R上只能递增,∴Δ=4-12m≤0.∴m≥. 14.若函数y=-x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围________. [答案] a>0 [解析] y′=-4x2+a,若y=-x3+ax有三个单调区间,则方程-4x2+a=0应有两个不等实根,故a>0. 三、解答题 15.讨论函数f(x)=(-1<x<1,b≠0)的单调性. [解析] ∵f(x)=(-1<x<1,b≠0) ∴f′(x)= == ∵-1<x<1,∴1-x2>0,(x2-1)2>0, ①当b>0时,f′(x)<0,∴函数f(x)在(-1,1)上单调递减. ②当b<0时,f′(x)>0,∴函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 16.已知曲线y=x3+3x2+6x-10,点P(x,y)在该曲线上移动,在P点处的切线设为l. (1)求证:此函数在R上单调递增; (2)求l的斜率的范围. [解析] (1)证明:y′=3x2+6x+6=3(x2+2x+1)+3=3(x+1)2+3>0恒成立,∴此函数在R上递增. (2)解:由(1)知f′(x)=3(x+1)2+3≥3, ∴l的斜率的范围是k≥3. 17.已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围. [解析] f(x)=a·b=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t f′(x)=-3x2+2x+t ∵函数f(x)在(-1,1)上是增函数 ∴f′(x)≥0对x∈(-1,1)恒成立 ∴-3x2+2x+t≥0在(-1,1)上恒成立 即t≥3x2-2x在(-1,1)上恒成立 令g(x)=3x2-2,x∈(-1,1) ∴g(x)∈(-,5) 故要使t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立,只需t≥5 即:所求t的取值范围为:t≥5 18.设函数f(x)=(ax2-bx)ex(e为自然对数的底数)的图象与直线ex+y=0相切于点A,且点A的横坐标为1. (1)求a,b的值; (2)求函数f(x)的单调区间,并指出在每个区间上的增减性. [解析] (1)f′(x)=(2ax-b)ex+(ax2-bx)·ex =[ax2+(2a-b)x-b]ex,由于f(x)的图象与直线ex+y=0相切于点A,点A的横坐标为1, 则A(1,-e), 所以即, 解得a=1,b=2. (2)由a=1,b=2得f(x)=(x2-2x)ex,定义域为(-∞,+∞). f′(x)=(x2-2)ex=(x-)(x+)ex, 令f′(x)>0,解得x<-或x>. 令f′(x)<0,解得-<x<. 故函数f(x)在区间(-∞,-)和(,+∞)上分别单调递增,在区间(-,)上单调递减.










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