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2019-2020年高二数学 逻辑用语知识精讲 文 人教实验A版选修1-1.doc

 版权申诉  doc 2019-2020年高二数学 逻辑用语知识精讲 文 人教实验A版选修1-1 【本讲教育信息】 一. 教学内容: 逻辑用语 二. 重点、难点: 1. 命题:真命题、假命题 2. 四种命题:逆命题与否命题 互为逆否命题 互为逆否命题的两个命题 同真同假。 3. 充要条件:,则称是的充分条件,是的必要条件。 4. 逻辑联结词:或、且、非 、中至少一个为真为真 、中至少一个为假为假 真(或假)为假(或真) 5. 全称量词:“任意”、“全部”、“所有” 6. 存在量词:“存在一个”、“至少一个” 【典型例题】 [例1] 下列语句中是命题的有 ,其中真命题的有 。 ① 等边三角形是等腰三角形”; ② ; ③ ; ④ 一个数不是正数就是负数; ⑤“大角所对的边大于小角所对的边”; ⑥“为有理数,则xy也都是有理数”。 解:命题①③④⑤⑥;真命题① [例2] 命题“若,则x与y成反比例关系”的否命题是( ) A. 若,则x与y成正比例关系 B. 若,则x与y成反比例关系 C. 若x与y不成反比例关系,则 D. 若,则x与y不成反比例关系 解答:选D。条件及结论同时否定、位置不变 [例3] 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假。 (1)两条平行线不相交 (2)两条对角线不相等的平行四边形不是矩形 (3)若,则 解:(1)逆命题:若两条直线不相交,则它们平行,为真命题。 否命题:若两条直线不平行,则它们相交,为真命题。 逆否命题:若两条直线相交,则它们不平行,为真命题。 (2)逆命题:若平行四边形不是矩形,则它的两条对角线不相等,为真命题。 否命题:若平行四边形两条对角线相等,则它是矩形,为真命题。 逆否命题:若平行四边形为矩形,则它的两条对角线相等,为真命题。 (3)逆命题:若,则,为假命题。 否命题:若,则,为假命题。 逆否命题:若,则,为真命题。 [例4] 已知下列三个方程:,至少有一个方程有实根,求实数的取值范围。 解:先求使三个方程都没有实根的实数的取值范围: 由 得 解得: ∴ 所求实数a的取值范围是:或 正确使用原命题与逆否命题等价 [例5] 已知是方程的两根,,则是的( ) A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 分析:利用韦达定理转换 解:∵ 是方程的两根 ∴ 的值分别为 ∴ 说明:,但,事实上只要取,作为反例即可说明这一点,因此选A。 判断命题为假命题可以通过举反例。 [例6] 设命题甲为:,命题乙为,那么甲是乙的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 分析:先解不等式再判定。 解:解不等式得 ∵ ,但 ∴ 甲是乙的充分不必要条件,选A。 一般情况下,如果条件甲为,条件乙为 当且仅当时,甲为乙的充分条件,当且仅当时,甲为乙的必要条件 当且仅当A=B时,甲为乙的充要条件 [例7] 若A是B成立的充分条件,D是C成立的必要条件,C是B成立的充要条件,则D是A成立的( ) A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 分析:通过B、C作为桥梁联系A、D 解:∵ A是B的充分条件 ∴ ① ∵ D是C成立的必要条件 ∴ ② ∵ C是B成立的充要条件 ∴ ③ 由①③得 ④ 由②④得 ∴ D是A成立的必要条件,选B。 [例8] 是的必要条件还是充分条件?试说明理由。 解:(1)当时,可得,即 则或,即或 故不能推得且(有可能得到),即且并非的必要条件。 (2)当且则分成两种情况讨论:或,不论哪一种情况均可化为。 ∴ 且是的充分条件。 [例9] 设是方程的两个实根,试分析且是两根均大于1的什么条件? 分析:把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系:解题时需要搞清楚条件与分别指什么,然后再验证是还是还是。 解:根据韦达定理得: 判定条件是 结论是 (还要注意条件中,需满足的大前提) (1)由,得 ∴ (2)为了证明 可以举出反例:取 它满足,但不成立 上述讨论可知:是的必要但不充分条件 [例10] 分别写出由下列各种命题构成的“或”“且”“非”形式的复合命题: (1):李明是高中一年级学生 :李明是共青团员 (2) :是无理数 解:(1)或:李明是高中一年级学生或是共青团员 且:李明是高中一年级学生且是共青团员 非:李明不是高中一年级学生 (2)或:是大于2或是无理数 且:是大于2且是无理数 非:不大于2 [例11] 命题① 梯形不是平行四边形;② 等腰三角形的底角相等;③ 有两个内角互补的四边形是梯形或圆内接四边形或是平行四边形;④ 60是5或2的公倍数。其中复合命题有( ) A. ①③④ B. ③④ C. ③ D. ①③ 分析:②是简单命题,其余的均为复合命题。 解:选A。 [例12] 命题:的否定是 答案: 命题:的否定是 答案: [例13] 写出下列命题的否定。 (1)所有自然数的平方是正数; (2)任何实数x都是的根; (3)对任意实数x,存在实数y,使; (4)有些质数是奇数 解:(1)存在自然数的平方是负数或0; (2)存在实数x,它不是的根; (3)存在实数x,同时存在实数y,使 (4)任何质数都不是奇数。 [例14] 是的充要条件的是( ) A. B. C. 四边形的两条对角线互相垂直平分,四边形是正方形 D. 关于x的方程有惟一解 分析:逐个验证命题是否等价 解:对A,,,所以是的既不充分也不必要条件;对B,但,是q的充分非必要条件;对C,pq且qp,p是q的必要非充分条件;对D,pq且,即,p是q的充要条件,选D。 说明:当0时,有无数个解。 [例15]“”是“”的( ) A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解:在这里“”是条件,而 所以 但 因此“”是“”故选B。 【模拟试题】(答题时间:30分钟) 1. 命题“若,则”的否命题是( ) A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 2. 命题“若,则”(这里都是实数)与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 0个 3. 下列说法 (1)四种命题中真命题的个数一定是偶数 (2)若一个命题的逆命题是真命题,则它的否命题一定是真命题 (3)逆命题与否命题之间是互为逆否的关系 (4)若一个命题的逆否命题是假命题,则它的逆命题与否命题都是假命题 其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 是正数的充分必要条件是( ) A. B. C. D. 且 5. 下列说法正确的是( ) A. 是的充分而不必要条件 B. 是的充要条件 C. 若,则p是q的充分条件 D. 一个四边形是矩形的充分条件是:它是平行四边形 6. 的充要条件是( ) A. B. C. 且 D. 或 7. 命题,命题,则p是q的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设:“为偶数”,q:“为偶数”,下列四个命题:①若p则q,② 若则,③ 若则,④ 若则中真命题的个数为( ) A. 0个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. ,求下列命题中① ,② ,③ ,④ 且,⑤ 或,⑥ 且,⑦ 或,⑧ 且互为充要条件的有( ) A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 10. 设集合,那么“”是“”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 11. 原命题:“若”,则“且”,试写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断真假。 【试题答案】 1. A 2. C 3. C 4. D 5. B 6. C 7. D 8. B 9. B 10. B 11. 答:逆命题:若“且”,则“” 否命题:若“”,则“或” 逆否命题:若:“且”,则“” 原命题,逆否命题为假命题;逆命题,否命题为真命题。












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