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 版权申诉  doc 2019-2020年高二数学 1、2-2-1双曲线及其标准方程同步练习 新人教A版选修1-1 一、选择题 1.平面内到两定点E、F的距离之差的绝对值等于|EF|的点的轨迹是(  ) A.双曲线   B.一条直线 C.一条线段 D.两条射线 [答案] D 2.已知方程-=1表示双曲线,则k的取值范围是(  ) A.-1<k<1 B.k>0 C.k≥0 D.k>1或k<-1 [答案] A [解析] 由题意得(1+k)(1-k)>0,∴(k-1)(k+1)<0,∴-1<k<1. 3.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都相外切,则动圆圆心的轨迹为(  ) A.双曲线的一支 B.圆 C.抛物线 D.双曲线 [答案] A [解析] 设动圆半径为r,圆心为O,x2+y2=1的圆心为O1,圆x2+y2-8x+12=0的圆心为O2, 由题意得|OO1|=r+1,|OO2|=r+2, ∴|OO2|-|OO1|=r+2-r-1=1<|O1O2|=4, 由双曲线的定义知,动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支. 4.以椭圆+=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是(  ) A.-y2=1 B.y2-=1 C.-=1 D.-=1 [答案] B [解析] 由题意知双曲线的焦点在y轴上,且a=1,c=2, ∴b2=3,双曲线方程为y2-=1. 5.“ab<0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] C [解析] ab<0⇒曲线ax2+by2=1是双曲线, 曲线ax2+by2=1是双曲线⇒ab<0. 6.已知双曲线的两个焦点为F1(-,0)、F2(,0),P是此双曲线上的一点,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,则该双曲线的方程是(  ) A.-=1 B.-=1 C.-y2=1 D.x2-=1 [答案] C [解析] ∵c=,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2, ∴(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|=4c2, ∴4a2=4c2-4=16,∴a2=4,b2=1. 7.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则m的值是(  ) A.±1 B.1 C.-1 D.不存在 [答案] A [解析] 验证法:当m=±1时,m2=1, 对椭圆来说,a2=4,b2=1,c2=3. 对双曲线来说,a2=1,b2=2,c2=3, 故当m=±1时,它们有相同的焦点. 直接法:显然双曲线焦点在x轴上,故4-m2=m2+2. ∴m2=1,即m=±1. 8.已知点F1(-4,0)和F2(4,0),曲线上的动点P到F1、F2距离之差为6,则曲线方程为(  ) A.-=1 B.-=1(y>0) C.-=1或-=1 D.-=1(x>0) [答案] D [解析] 由双曲线的定义知,点P的轨迹是以F1、F2为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,其方程为:-=1(x>0) 9.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,在左支上过F1的弦AB的长为5,若2a=8,那么△ABF2的周长是(  ) A.16 B.18 C.21 D.26 [答案] D [解析] |AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8, ∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16, ∴|AF2|+|BF2|=16+5=21, ∴△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26. 10.若椭圆+=1(m>n>0)和双曲线-=1(a>0,b>0)有相同的焦点,P是两曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|的值为(  ) A.m-a B.m-b C.m2-a2 D.- [答案] A [解析] 设点P为双曲线右支上的点, 由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2, 由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2. ∴|PF1|=+,|PF2|=-, ∴|PF1|·|PF2|=m-a. 二、填空题 11.双曲线的焦点在x轴上,且经过点M(3,2)、N(-2,-1),则双曲线标准方程是________. [答案] -=1 [解析] 设双曲线方程为:-=1(a>0,b>0) 又点M(3,2)、N(-2,-1)在双曲线上, ∴,∴. 12.过双曲线-=1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为________. [答案]  [解析] ∵a2=3,b2=4,∴c2=7,∴c=, 该弦所在直线方程为x=, 由得y2=, ∴|y|=,弦长为. 13.如果椭圆+=1与双曲线-=1的焦点相同,那么a=________. [答案] 1 [解析] 由题意得a>0,且4-a2=a+2,∴a=1. 14.一动圆过定点A(-4,0),且与定圆B:(x-4)2+y2=16相外切,则动圆圆心的轨迹方程为________. [答案] -=1(x≤-2) [解析] 设动圆圆心为P(x,y),由题意得 |PB|-|PA|=4<|AB|=8, 由双曲线定义知,点P的轨迹是以A、B为焦点,且2a=4,a=2的双曲线的左支. 其方程为:-=1(x≤-2). 三、解答题 15.讨论+=1表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征. [解析] (1)当k<9时,25-k>0,9-k>0, 所给方程表示椭圆, 此时a2=25-k,b2=9-k,c2=a2-b2=16, 这些椭圆有共同的焦点(-4,0),(4,0). (2)当9<k<25时,25-k>0,9-k<0, 所给方程表示双曲线, 此时,a2=25-k,b2=k-9,c2=a2+b2=16,这些双曲线也有共同的焦点(-4,0),(4,0). (3)当k>25时,所给方程没有轨迹. 16.设双曲线与椭圆+=1有共同的焦点,且与椭圆相交,在第一象限的交点A的纵坐标为4,求此双曲线的方程. [解析] 椭圆+=1的焦点为(0,±3), 由题意,设双曲线方程为:-=1(a>0,b>0), 又点A(x0,4)在椭圆+=1上,∴x=15, 又点A在双曲线-=1上,∴-=1, 又a2+b2=c2=9,∴a2=4,b2=5, 所求的双曲线方程为:-=1. 17.已知双曲线x2-=1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且·=0,求点M到x轴的距离. [解析] 解法一:设M(xM,yM),F1(-,0),F2(,0),=(--xM,-yM),=(-xM,-yM) ∵·=0, ∴(--xM)·(-xM)+y=0, 又M(xM,yM)在双曲线x2-=1上,∴x-=1, 解得yM=±, ∴M到x轴的距离是|yM|=. 解法二:连结OM,设M(xM,yM),∵·=0, ∴∠F1MF2=90°,∴|OM|=|F1F2|=, ∴=① 又x-=1② 由①②解得yM=±, ∴M到x轴的距离是|yM|=. 18.在面积为1的△PMN中,tan∠PMN=,tan∠MNP=-2,建立适当坐标系.求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程. [解析] 解法一:以MN所在直线为x轴,MN的中垂线为y轴建立直角坐标系.设P(x0,y0),M(-c,0),N(c,0)(y0>0,c>0).(如图) 则解得 设双曲线方程为-=1, 将点P=代入,可得a2=. ∴所求双曲线方程为-=1. 解法二:以MN所在直线为x轴,MN的中垂线为y轴建立直角坐标系,作PA⊥x轴于A点. 设P(x0,y0),M(-c,0),N(c,0),(y0>0,c>0)(如图所示) 因为tan∠MNP=-2,所以tan∠xNP=2, 故=2,=, 即AN=,AM=2y0, 所以2c=y0,即y0=c, 又因为S△PMN=1,所以MN·PA=1, 即×2c×c=1,∴c=, 而2a=PM-PN =- =y0-y0=, ∴a=, 故所求双曲线方程为-=1.














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