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2019-2020年高二数学 1、2-3-1抛物线及其标准方程同步练习 新人教A版选修1-1.doc

 版权申诉  doc 2019-2020年高二数学 1、2-3-1抛物线及其标准方程同步练习 新人教A版选修1-1 一、选择题 1.在直角坐标平面内,到点(1,1)和直线x+2y=3距离相等的点的轨迹是(  ) A.直线         B.抛物线 C.圆 D.双曲线 [答案] A [解析] ∵定点(1,1)在直线x+2y=3上,∴轨迹为直线. 2.抛物线y2=x上一点P到焦点的距离是2,则P点坐标为(  ) A. B. C. D. [答案] B [解析] 设P(x0,y0),则|PF|=x0+=x0+=2, ∴x0=,∴y0=±. 3.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为(  ) A. B.- C.8 D.-8 [答案] B [解析] ∵y=ax2,∴x2=y,其准线为y=2, ∴a<0,2=,∴a=-. 4.(xx·湖南文,5)设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是(  ) A.4 B.6 C.8 D.12 [答案] B [解析] 本题考查抛物线的定义. 由抛物线的定义可知,点P到抛物线焦点的距离是4+2=6. 5.设过抛物线的焦点F的弦为AB,则以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是 (  ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上答案都有可能 [答案] B [解析] 特值法:取AB垂直于抛物线对称轴这一情况研究. 6.过点F(0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为(  ) A.y2=12x B.y2=-12x C.x2=12y D.x2=-12y [答案] C [解析] 由题意,知动圆圆心到点F(0,3)的距离等于到定直线y=-3的距离,故动圆圆心的轨迹是以F为焦点,直线y=-3为准线的抛物线. 7.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线(  ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 [答案] B [解析] 当斜率不存在时,x1+x2=2不符合题意. 因为焦点坐标为(1,0), 设直线方程为y=k(x-1), 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, ∴x1+x2==5, ∴k2=,即k=±. 因而这样的直线有且仅有两条. 8.抛物线y2=8x上一点P到x轴距离为12,则点P到抛物线焦点F的距离为(  ) A.20 B.8 C.22 D.24 [答案] A [解析] 设P(x0,12),则x0=18, ∴|PF|=x0+=20. 9.抛物线的顶点在坐标原点,焦点是椭圆4x2+y2=1的一个焦点,则此抛物线的焦点到准线的距离为(  ) A.2 B. C. D. [答案] B [解析] =c=,∴p=. 10.在同一坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致是(  ) [答案] D [解析] 解法一:将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转化为标准方程+=1,y2=-x.因为a>b>0,因此>>0. 所以有椭圆的焦点在y轴,抛物线的开口向左. 解法二:将方程ax+by2=0中的y换成-y,其结果不变, 即说明ax+by2=0的图象关于x轴对称,排除B、C,又椭圆的焦点在y轴,排除A. 二、填空题 11.已知圆x2+y2+6x+8=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切,则p=________. [答案] 4或8 [解析] 抛物线的准线方程为:x=-,圆心坐标为(-3,0),半径为1, 由题意知3-=1或-3=1,∴p=4或p=8. 12.到点A(-1,0)和直线x=3距离相等的点的轨迹方程是________. [答案] y2=8-8x [解析] 设动点坐标为(x,y), 由题意得=|x-3|, 化简得y2=8-8x. 13.以双曲线-=1的中心为顶点,左焦点为焦点的抛物线方程是__________. [答案] y2=-20x [解析] ∵双曲线的左焦点为(-5,0),故设抛物线方程为y2=-2px(p>0), 又p=10,∴y2=-20x. 14.圆心在第一象限,且半径为1的圆与抛物线y2=2x的准线和双曲线-=1的渐近线都相切,则圆心的坐标是________. [解析] 设圆心坐标为(a,b),则a>0,b>0. ∵y2=2x的准线为x=-, -=1的渐近线方程为3x±4y=0. 由题意a+=1,则a=. |3a±4b|=5,解得b=或b=, ∴圆心坐标为、. 三、解答题 15.若抛物线y2=2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6,求M点的横坐标及抛物线方程. [解析] ∵点M到对称轴的距离为6, ∴设点M的坐标为(x,6). ∵点M到准线的距离为10, ∴,解得,或, 故当点M的横坐标为9时,抛物线方程为y2=4x. 当点M的横坐标为1时,抛物线方程为y2=36x. 16.已知点A(0,-2),B(0,4),动点P(x,y)满足·=y2-8. (1)求动点P的轨迹方程. (2)设(1)中所求轨迹与直线y=x+2交于C、D两点. 求证:OC⊥OD(O为原点) [解析] (1)由题意可得·=(-x,-2-y)·(-x,4-y)=y2-8 化简得x2=2y (2)将y=x+2代入x2=2y中,得x2=2(x+2) 整理得x2-2x-4=0 可知Δ=20>0 设C(x1,y1),D(x2,y2) x1+x2=2,x1·x2=-4 ∵y1=x1+2,y2=x2+2 ∴y1y2=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=4 ∵·=x1x2+y1y2=0 ∴OC⊥OD 17.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的任意一条直线m,交抛物线于P1,P2两点,求证:以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切. [证明] 如下图,设P1P2的中点为P0,过P1,P2,P0分别向准线l引垂线,垂足分别为Q1,Q2,Q0,根据抛物线的定义,得|P1F|=|P1Q1|,|P2F|=|P2Q2|,所以|P1P2|=|P1F|+|P2F|=|P1Q1|+|P2Q2|.因为P1Q1∥P0Q0∥P2Q2,|P1P0|=|P0P2|,所以|P0Q0|=(|P1Q1|+|P2Q2|)=|P1P2|.由此可知,P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径,且P0Q0⊥l,因此,圆P0与准线相切. 18.抛物线的焦点F是圆x2+y2-4x=0的圆心. (1)求该抛物线的标准方程; (2)直线l的斜率为2,且过抛物线的焦点,若l与抛物线、圆依次交于A,B,C,D,求|AB|+|CD|. [解析] (1)由圆的方程知圆心坐标为(2,0).因为所求的抛物线以(2,0)为焦点,所以抛物线的标准方程为y2=8x. (2)如右图,|AB|+|CD|=|AD|-|BC|,又|BC|=4,所以只需求出|AD|即可. 由题意,AD所在直线方程为y=2(x-2),与抛物线方程y2=8x联立得⇒x2-6x+4=0,设A(x1,y1),D(x2,y2),所以x1+x2=6,x1x2=4,|AD|=|AF|+|DF|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4=6+4=10,所以|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=6. [点拨] 本题求出x1+x2=6,x1x2=4后可以利用弦长公式来求,但直接利用抛物线定义得|AD|=|AF|+|DF|=x1+x2+p,则简单利落.












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