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doc 2019-2020年高二数学 1、3-3-2函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数同步练习 新人教A版选修1-1 一、选择题 1.设x0为f(x)的极值点,则下列说法正确的是(  ) A.必有f′(x0)=0 B.f′(x0)不存在 C.f′(x0)=0或f′(x0)不存在 D.f′(x0)存在但可能不为0 [答案] C [解析] 如:y=|x|,在x=0时取得极小值,但f′(0)不存在. 2.对于可导函数,有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] C 3.函数y=2-x2-x3的极值情况是(  ) A.有极大值,没有极小值 B.有极小值,没有极大值 C.既无极大值也无极小值 D.既有极大值也有极小值 [答案] D [解析] y′=-3x2-2x=-x(3x+2), 当x>0或x<-时,y′<0, 当-<x<0时y′>0, ∴当x=-时取极小值,当x=0时取极大值. 4.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点(  ) A.1个         B.2个 C.3个 D.4个 [答案] A [解析] 由f′(x)的图象可知,函数f(x)在区间(a,b)内,先增、再减、再增、最后再减,故函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极小值点. 5.下列命题:①一个函数的极大值总比极小值大;②可导函数导数为0的点不一定是极值点;③一个函数的极大值可以比最大值大;④一个函数的极值点可在其不可导点处达到,其中正确命题的序号是(  ) A.①④ B.②④ C.①② D.③④ [答案] B 6.函数y=|x-1|,下列结论中正确的是(  ) A.y有极小值0,且0也是最小值 B.y有最小值0,但0不是极小值 C.y有极小值0,但不是最小值 D.因为y在x=1处不可导,所以0既非最小值也非极值 [答案] A 7.函数f(x)=x(1-x2)在[0,1]上的最大值为(  ) A. B. C. D. [答案] A [解析] f′(x)=1-3x2=0,得x=∈[0,1], 所以f(x)max=f=. 8.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图像与x轴切于(1,0)点,则函数f(x)的极值是(  ) A.极大值为,极小值为0 B.极大值为0,极小值为 C.极大值为0,极小值为- D.极大值为-,极小值为0 [答案] A [解析] 由题意,得f(1)=0,∴p+q=1① f′(1)=3-2p-q=0,∴2p+q=3③ 由①②得p=2,q=-1. ∴f′(x)=x3-2x2+x,f′(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1), 令f′(x)=0,得x=或x=1,f=,f(1)=0. 9.已知函数y=|x2-3x+2|,则(  ) A.y有极小值,但无极大值 B.y有极小值0,但无极大值 C.y有极小值0,极大值 D.y有极大值,但无极大值 [答案] C [解析] 作出函数y=|x2-3x+2|的图象,由图象知选C. 10.设f(x)=x(ax2+bx+c)(a≠0)在x=1和x=-1处均有极值,则下列点中一定在x轴上的是(  ) A.(a,b) B.(a,c) C.(b,c) D.(a+b,c) [答案] A [解析] f′(x)=3ax2+2bx+c,由题意,知1、-1是方程3ax2+2bx+c=0的两根,1-1=-,b=0. 二、填空题 11.函数y=的极大值为____________,极小值为____________. [答案] -1,-3 [解析] y′=,令y′>0得-1<x<1, 令y′<0得x>1或x<-1,∴当x=-1时,取极小值-3,当x=1时,取极大值-1. 12.函数y=x3-6x+a的极大值为____________,极小值为____________. [答案] a+4 a-4 [解析] y′=3x2-6=3(x+)(x-), 令y′>0,得x>或x<-, 令y′<0,得-<x<, ∴当x=-时取极大值a+4, 当x=时取极小值a-4. 13.函数y=x-x3(x∈[0,2])的最小值是________. [答案] -6 [解析] y′=1-3x2,令y′=0,得x=±, f(0)=0,f(2)=-6,f=-, f=-3=-=, ∴最小值为-6. 14.已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处取极大值,则常数c的值为________. [答案] 6 [解析] f(x)=x(x-c)2=x3-2cx2+c2x, f′(x)=3x2-4cx+c2,令f′(2)=0解得c=2或6. 当c=2时,f′(x)=3x2-8x+4=(3x-2)(x-2), 故f(x)在x=2处取得极小值,不合题意舍去; 当c=6时,f′(x)=3x2-24x+36=3(x2-8x+12) =3(x-2)(x-6),故f(x)在x=2处取得极大值. 三、解答题 15.已知函数f(x)=x3-3x2-9x+11. (1)写出函数的递减区间; (2)讨论函数的极大值或极小值,如有试写出极值. [解析] f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3), 令f′(x)=0,得x1=-1,x2=3. x变化时,f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示: x (-∞,-1) -1 (-1,3) 1 (3,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 增 极大值f(-1) 减 极小值f(3) 增 (1)由表可得函数的递减区间为(-1,3) (2)由表可得,当x=-1时,函数有极大值为f(-1)=16;当x=3时,函数有极小值为f(3)=-16. 16.求下列函数的最值 (1)f(x)=3x-x3(-≤x≤3); (2)f(x)=sin2x-x. [解析] (1)f′(x)=3-3x2=3(1-x)(1+x). 令f′(x)=0,得x=1或x=-1, ∴x=1和x=-1是函数f(x)在[-,3]上的两个极值点,且f(1)=2,f(-1)=-2. 又f(x)在区间端点的取值为f(-)=0,f(3)=-18. 比较以上函数值可得f(x)max=2,f(x)min=-18. (2)f′(x)=2cos2x-1. 令f′(x)=0,得cos2x=, 又x∈, ∴2x∈[-π,π],∴2x=±,∴x=±. ∴函数f(x)在上的两个极值分别为 f=-,f=-+. 又f(x)在区间端点的取值为 f=-,f=. 比较以上函数值可得f(x)max=,f(x)min=-. 17.已知a∈R,讨论函数f(x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数. [解析] f′(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)]. 令f′(x)=0,所以x2+(a+2)x+2a+1=0 ○. (1)当Δ=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a>0,即a<0或a>4时,设○有两个不同的根x1,x2,不妨设x1<x2,所以f′(x)=ex(x-x1)(x-x2). 即f(x)有两个极值点. (2)当Δ=0,即a=0或a=4时,设有两个相等实根x1,所以f′(x)=ex(x-x1)2≥0,所以f(x)无极值. (3)当Δ<0,即0<a<4时,x2+(a+2)x+2a+1>0,所以f′(x)>0.故f(x)也无极值. 综上所述,当a<0或a>4时,f(x)有两个极值, 当0≤a≤4时f(x)无极值. 18.(xx·江西理,19)设函数f(x)=lnx+ln(2-x)-ax(a>0).(提示:[ln(2-x)]′=-) (1)当a=1时,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在(0,1]上 的最大值为,求a的值. [分析] 所给函数的非基本函数,故求单调区间和最值可利用导数分析,解题的重点是求导的准确性.及函数定义域的确定. [解析] 函数f(x)的定义域为(0,2), f′(x)=-+a, (1)当a=1时,f′(x)=,所以f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,2); (2)当x∈(0,1]时,f′(x)=+a>0, 即f(x)在(0,1]上单调递增,故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)=a,因此a=.

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