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 版权申诉  doc 2019-2020年高二数学 第一章第3-4节简单的逻辑联结词和量词(理) 新人教A版选修2—1 一、学习目标: 1. 通过数学实例,了解简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义; 2. 能正确地利用“或”、“且”、“非”表述相关的数学内容; 3. 知道命题的否定与否命题的区别; 4. 了解量词在日常生活中和数学命题中的作用,正确区分全称量词和存在量词的概念,并能准确理解和使用这两类量词。 二、重点、难点: 重点: 1. 掌握真值表的表示方法; 2. 理解逻辑联结词的含义; 3. 理解全称量词、存在量词的概念与区别。 难点:理解逻辑联结词的含义,会正确使用全称命题、存在性命题。 三、考点分析: 本部分内容在高考中经常渗透到一些试题中来考查,基本上单独命题的可能性比较小,有时在小题中出现。解题的关键是理解三种逻辑联结词的概念以及运用,这部分内容在我们以后学习概率的时候也会用到。我们除了要掌握逻辑联结词这部分知识外,还要理解全称量词和存在量词的相互转化。 一、逻辑联结词的基本概念 1. 逻辑联结词与复合命题的表示形式 我们把“或”、“且”、“非”称为逻辑联结词,它们分别对应于集合中的并、交、补的运算。 我们常用小写拉丁字母p,q,r,…表示命题,复合命题的构成形式有三种: p或q; p且q; 非p。 非p也叫做命题p的否定。非p记作“”,“”读作“非”(或“并非”),表示“否定”。 2. 复合命题的真值判定 当p、q两个命题都是真命题时,是真命题;当p、q中有一个是假命题时,是假命题。全真为真,有假即假 当p、q两个命题中有一个是真命题时,是真命题;当p、q都是假命题时,是假命题。全假为假,有真即真 一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作:“p”,读作“非p”或“p的否定”。 若p是真命题,则必是假命题;若p是假命题,则必是真命题。 “非”命题最常见的几个正面词语的否定: 正面 = > 是 都是 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 否定 ≠ ≤ 不是 不都是 至少有两个 一个也没有 某个 某些 二、全称量词与存在量词 全称量词:如“所有的”、“任何”、“一切”、“任意一个”等。其表达的逻辑为:“对宇宙间的所有事物x来说,x都是F。”例句:“所有的鱼都会游泳。”记作“、”等,表示个体域里的所有个体。 存在量词:如“有”、“有的”、“有些”、“存在一个”、“至少有一个”等。其表达的逻辑为:“宇宙间至少有一个事物x,x是F。”例句:“有的工程师是工人出身。”记作“,”等,表示个体域里有的个体。 全称命题:其公式为“所有S是P”。例句:“所有产品都是一等品”。全称命题,可以用全称量词,也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达,甚至有时可以没有任何的量词标志,如“人类是有智慧的”。含有全称量词的命题也称全称命题。 全称命题的格式:“对M中的所有x,p(x)”的命题,记为: 特称命题:其公式为“有的S是P”。例句:“大多数学生星期天休息”。特称命题使用存在量词,如“有些”、“很少”等,也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。含有存在性量词的命题也称存在性命题。 存在性命题的格式:“存在于集合M中的元素x,q(x)”的命题,记为: 注意:存在量词的“否”就是全称量词。 知识点一:简单的逻辑联结词的运用 例1. 对于下述命题,写出“”形式的命题,并判断“”与“”的真假: (1)(其中全集,,)。 (2)2<x≤3。 (3)平方和为的两个实数都为。 (4)100既能被4整除,又能被5整除。 (5)若。 (6)若,则中至少有一个为。 (7)一元二次方程至多有两个解。 【思路分析】 题意分析:本题是对逻辑连结词“或”“且”“非”的否定形式的考查。 解题思路:先分析题中涉及到哪个联结词,然后从意思上进行否定。 【解答过程】 (1);真,假; (2)x≤2或x>3。 (3)平方和为的两个实数不都为; (4)100不能被4整除,或不能被5整除; (5)若。 (6)若,则中都不为; (7)一元二次方程至少有三个解。 【题后思考】掌握复合命题的否定形式以及一些常用词语的否定。 p∨q的否定是∧q p∧q的否定是∨q 例2. 命题方程有两个不相等的正实数根, 命题方程无实数根。若“且”“或”为真命题,求的取值范围。 【思路分析】 题意分析:考查复合命题真值的运用。 解题思路:先理解“或”为真命题,一真即真,再运用集合中并集的思想解决该题。 【解答过程】 “或”为真命题,则为真命题,或为真命题,或和都是真命题 当为真命题时,则,得; 当为真命题时,则 当和都是真命题时,取其交集,得 当和至少有一个是真命题时取其并集,得 【题后思考】对于复合命题真值的判定,要能灵活地把逻辑联结词与集合中的三种运算对应起来,再运用集合的思想解题。 例3. 已知命题若非是的充分不必要条件,求的取值范围。 【思路分析】 题意分析:考查了运用逻辑联结词来解决不等式的求解与条件判定的综合问题。 解题思路:先求非表示的不等式的解集,然后利用集合间的包含关系来解决。 【解答过程】 而,即 【题后思考】对于逻辑条件的运用,我们要能熟练地结合集合的思想来解决。 【小结】对于这部分内容的解题方法,就是将命题转换为集合,然后运用集合的思想进行求解运算。一般以小题的形式进行考查。 知识点二:全称量词和存在量词的运用 例4. 指出下述推理过程中逻辑上的错误: 第一步:设a=b,则有a2=ab 第二步:等式两边都减去b2,得a2-b2=ab-b2 第三步:因式分解得 (a+b)(a-b)=b(a-b) 第四步:等式两边都除以(a-b),得a+b=b 第五步:由a=b代入,得2b=b 第六步:两边都除以b,得2=1 【思路分析】 题意分析:体会特称命题与全称命题的运用。 解题思路:运用综合法从已知分析结论,注意对命题的准确理解。 【解答过程】 第四步错:因a-b=0,等式两边不能除以(a-b) 第六步错:因b可能为0,两边不能立即除以b,需分情况进行讨论。 【题后思考】(a+b)(a-b)=b(a-b) a+b=b是存在性命题,不是全称命题,由此得到的结论不可靠。同理,由2b=b2=1亦是存在性命题,不是全称命题。 例5. 判断下列语句是不是全称命题或存在性命题,如果是,用量词符号表达出来。 (1)中国的所有江河都注入太平洋; (2)0不能作除数; (3)任何一个实数除以1,仍等于这个实数; (4)每一个向量都有方向。 【思路分析】 题意分析:对于特称命题、全称命题的准确理解。 解题思路:从句子的意思上进行分析判定,注意一些字眼:所有、任何,句子中存在的这些词语是解决问题的突破点。分析后用量词符号表示出来。 【解答过程】(1)全称命题,河流x∈{中国的河流},河流x注入太平洋; (2)存在性命题,0∈R,0不能作除数; (3)全称命题,x∈R,; (4)全称命题,,有方向。 【题后思考】判定语句属于哪类命题,主要是找语句中的量词,然后判定解决。 例6. 写出命题的否定形式 (1)p:$ x∈R,x2+2x+2≤0; (2)p:有的三角形是等边三角形; (3)p:有些函数没有反函数; (4)p:存在一个四边形,它的对角线互相垂直且平分; (5)p:所有的矩形都是平行四边形; (6)p:每一个素数都是奇数; (7)p:"xÎR,x2-2x+1≥0。 【思路分析】 题意分析:对于全称命题与特称命题的否定的考查。 解题思路:掌握符号的表示,以及全称命题与特称命题的相互转化。 【解答过程】 (1)" xÎR,x2+2x+2>0; (2)任何三角形都不是等边三角形; (3)任何函数都有反函数; (4)对于所有的四边形,它的对角线不可能互相垂直或平分; (5)存在一个矩形不是平行四边形; (6)否定:存在一个素数不是奇数; (7)否定:$xÎR,x2-2x+1<0。 【题后思考】从集合的运算观点剖析:, "的否定:;的否定:" 例7. 已知命题:方程在[-1,1]上有解;命题:只有一个实数满足不等式,若命题“p或q”是假命题,求实数a的取值范围。 【思路分析】 题意分析:本题考查函数与方程以及不等式的解集和特称命题的综合运用。 解题思路:先分析命题、的含义,再将其转换为运用集合的思想进行解决。 【解答过程】 【题后思考】我们在学习中要充分体会全称命题与特称命题的运用,准确进行命题的转化和运用。 【小结】对于本节内容的学习,我们不仅要理解两种量词的概念,同时要深刻体会它们在解决实际问题中的运用。 对于这部分内容的学习,我们主要要理解三种逻辑联结词的概念,并能结合集合的思想解决有关复合命题的运用。同时要关注存在性命题和全称命题的转换问题。 一、预习新知 我们知道,用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,截口曲线是一个圆。如何改变平面与圆锥曲线的夹角,会得到什么图形呢? 二、预习点拨 探究与反思: 探究任务一:曲线的方程 【反思】 (1)什么是曲线的方程? (2)什么是方程的曲线? 探究任务二:求曲线的方程 【反思】 (1)求曲线方程的步骤 (2)如何合理的建系,使建立的方程最简单? (答题时间:45分钟) 一、选择题 1. 若命题“p或q”为真,“非p”为真,则 ( ) A. p真q真 B. p假q真 C. p真q假 D. p假q假 2. “至多有三个”的否定为 ( ) A. 至少有三个 B. 至少有四个 C. 有三个 D. 有四个 3. 有金盒、银盒、铅盒各一个,只有一个盒子里有肖像。金盒上写有命题p:肖像在这个盒子里;银盒上写有命题q:肖像不在这个盒子里;铅盒上写有命题r:肖像不在金盒里。p、q、r中有且只有一个是真命题,则肖像在 ( ) A. 金盒里 B. 银盒里 C. 铅盒里 D. 不能确定在哪个盒子里 4. 不等式 对于恒成立,那么的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 5. “a和b都不是偶数”的否定形式是 ( ) A. a和b至少有一个是偶数 B. a和b至多有一个是偶数 C. a是偶数,b不是偶数 D. a和b都是偶数 二、填空题: 6. 若关于的方程有一正一负两个实数根,则实数的取值范围是_____________ 7. 已知命题,,则是_____________________ 8. 下列四个命题 ①, ②,是有理数。 ③,使 ④,使 所有真命题的序号是_____________________。 三、解答题:(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 9. 已知;,若-p是-q的必要非充分条件,求实数的取值范围。 10. 已知下列三个方程:中至少有一个方程有实数根,求实数的取值范围。 1. B 解析:根据复合命题真值的判定得到。 2. B 解析:这是一个含有量词的命题的否定。 3. B 本题考查复合命题及真值表. 解析:∵p=非r,∴p与r一真一假,而p、q、r中有且只有一个真命题,∴q必为假命题,∴非q:“肖像在这个盒子里”为真命题,即:肖像在银盒里. 评述:本题考查充要条件的基本知识,难点在于对周期概念的准确把握。 4. B 解析:注意二次项系数为零也可以这一情况。 5. A 解析:“a和b都不是偶数”的否定为“a和b不都不是偶数”,等价于“a和b中至少有一个是偶数”。 6. 解析:结合一元二次方程的判别式以及韦达定理解决。 7. ,使 8. ①,②,③,④ 9. 解: ∵-p是-q的必要非充分条件,,即,又,得。 10. 解:假设三个方程:都没有实数根,则,即,得














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