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 版权申诉  doc 2019-2020年高二数学上学期寒假作业11理 一、选择题 1.设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是 (  ). A.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥α B.若m⊂α,n⊂β,m⊥n,则n⊥α C.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α D.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是BD1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论错误的是( ). A.A1、M、O三点共线 B.M、O、A1、A四点共面 C.A、O、C、M四点共面 D.B、B1、O、M四点共面 3.已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,则该三棱锥的侧视图可能是( ) 4.如图,平面四边形中,,,将其沿对角线 折成四面体,使平面平面,若四面体顶点在同一个球面上,则该球的体积为( ) A. B. C. D. 二、填空题 5.在正三棱锥中,,过A作三棱锥的截面,则截面三角形的 周长的最小值为 . 6.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=4,将△ABD沿对角线 BD折起到△A′BD的位置,使点A′在平面BCD内的射影点O恰 好落在BC边上,则异面直线A′B与CD所成角的大小为________. 7.设球O的半径为R,A、B、C为球面上三点,A与B、A与C的球面距离都为,B与C的球面距离为,则球O在二面角B-OA-C内的那一部分的体积是 8.已知P为△ABC所在平面外一点,且PA、PB、PC两两垂直,则下列命题: ①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC. 其中正确的个数是________. 三、解答题 9.如图,在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1=AB,点E、M分别为A1B、C1C的中点,过点A1,B,M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.(Ⅰ)求证:EM∥平面A1B1C1D1;(Ⅱ)求二面角B—A1N—B1的正切值. 10. 如图,已知直三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为2,底面△ABC是等腰直角三角形,且∠ACB=90°,AC=2,D是A A1的中点. (Ⅰ)求异面直线AB和C1D所成的角(用反三角函数表示); (Ⅱ)若E为AB上一点,试确定点E在AB上的位置,使得A1E⊥C1D; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求点D到平面B1C1E的距离. 题后自我反思: 家长评语: 家长签字: 答案: 1.C 2.D 3.B 4.A 5. 6.90° 7. 8.3个 9.解法一: (Ⅰ)证明:取A1B1的中点F,连EF,C1F ∵E为A1B中点 ∴EF∥ BB1 又∵M为CC1中点 ∴EF∥ C1M ∴四边形EFC1M为平行四边形 ∴EM∥FC1 而EM 平面A1B1C1D1 . FC1平面A1B1C1D1 . ∴EM∥平面A1B1C1D1 (Ⅱ)由(Ⅰ)EM∥平面A1B1C1D1 EM平面A1BMN 平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N ∴A1N// EM// FC1 ∴N为C1D1 中点 过B1作B1H⊥A1N于H,连BH,根据三垂线定理 BH⊥A1N ∠BHB1即为二面角B—A1N—B1的平面角 设AA1=a, 则AB=2a, ∵A1B1C1D1为正方形 ∴A1H= 又∵△A1B1H∽△NA1D1 ∴B1H= 在Rt△BB1H中,tan∠BHB1= 即二面角B—A1N—B1的正切值为 解法二: (Ⅰ)建立如图所示空间直角坐标系,设AB=2a,AA1=a(a>0), 则A1(2a,0,a),B(2a, 2a , 0), C(0,2a,0), C1(0,2a,a) ∵E为A1B的中点,M为CC1的中点 ∴E(2a , a , ),M(0,2a, ) ∴EM// A1B1C1D1 (Ⅱ)设平面A1BM的法向量为=(x, y , z ) 又=(0,2a , -a ) 由,得 而平面A1B1C1D1的法向量为.设二面角为,则 又:二面角为锐二面角 , 从而 10.(Ⅰ)法一:取CC1的中点F,连接AF,BF,则AF∥C1D. ∴∠BAF为异面直线AB与C1D所成的角或其补角. 又∵CC1=2,∴AF=BF=. ∵cos∠BAF=, ∴∠BAF=, 即异面直线AB与C1D所成的角为. 法二:以C为坐标原点,CB,CA,CC1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 则A(0,2,0),B(2,0,0), C1(0,0,2),D(0,2,1), ∴=(2,-2,0),=(0,2,-1). 由于异面直线AB与C1D所成的角 为向量与的夹角或其补角. 设与的夹角为, 则cos==, ∴=, 即异面直线AB与C1D所成的角为 . (Ⅱ)法一:过C1作C1M⊥A1B1,垂足为M,则M 为A1B1的中点,且C1M⊥平面AA1B1B.连接DM. ∴DM即为C1D在平面AA1B1B上的射影. 要使得A1E⊥C1D, 由三垂线定理知,只要A1E⊥DM. ∵AA1=2,AB=2, 由计算知,E为AB的中点. 法二:过E作EN⊥AC,垂足为N,则EN⊥平面 AA1C1C.连接A1N. ∴A1N即为A1E在平面AA1C1C上的射影. 要使得A1E⊥C1D, 由三垂线定理知,只要A1N⊥C1D. ∵四边形AA1C1C为正方形, ∴N为AC的中点, ∴E点为AB的中点. 法三:以C为坐标原点,CB,CA,CC1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 则A1(0,2,2),B(2,0,0), C1(0,0,2), D(0,2,1), 设E点的坐标为(x,y,0), 要使得A1E⊥C1D, 只要·=0, ∵=(x,y-2,-2), =(0,2,-1), ∴y=1. 又∵点E在AB上, ∴∥.∴x=1. ∴E点为AB的中点. (Ⅲ)法一:取AC中点N,连接EN,C1N, 则EN∥B1C1. ∵B1C1⊥平面AA1C1C, ∴面B1C1NE⊥平面AA1C1C. 过点D作DH⊥C1N,垂足为H, 则DH⊥平面B1C1NE, ∴DH的长度即为点D到 平面B1C1E的距离. 在正方形AA1C1C中,由计算知DH=, 即点D到平面B1C1E的 距离为. 法二:连接DE,DB1. 在三棱锥D—B1C1E中,点C1到平面DB1E的距离 为,B1E=,DE=, 又B1E⊥DE,∴△DB1E的面积为, ∴三棱锥C1—DB1E的体积为1. 设点D到平面B1C1E的距离为d,在△B1C1E中,B1C1=2,B1E= C1E=, ∴△B1C1E的面积为.由, 得d=,即点D到平面B1C1E的距离为.
















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