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doc 2019-2020年高二数学上学期寒假作业6理 1.和x轴相切,且与圆x2+y2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是 ( ) A.x2=2y+1 B.x2=-2y+1 C.x2=2y-1 D.x2=2|y|+1 【解析】: 2.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于 ( ) A.π B.4π C.8π D.9π 【解析】: 3. 设直线和圆相交于点A、B,则弦AB的垂直平分线方程是 . 【解析】: 4. 设直线ax-y+3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4有两个不同的交点A,B,且弦AB的长为2,则a等于 . 【解析】: 5、设圆上点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且圆与直线x-y+1=0相交的弦长为2,求圆的方程. 【解析】: 6、已知与曲线C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l叫x轴,y轴于A,B两点,|OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2). (1)求证:(a-2)(b-2)=2;(2)求线段AB中点的轨迹方程;(3)求△AOB面积的最小值. 【解析】: 7、 已知点A,B的坐标为(-3,0),(3,0),C为线段AB上的任意一点,P,Q是分别以AC,BC为直径的两圆O1,O2的外公切线的切点,求PQ中点的轨迹方程. 【解析】: 8.由动点P引圆x2+y2=10的两条切线PA,PB,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2. (1)若k1+k2+k1k2=-1,求动点P的轨迹方程; (2)若点P在直线x+y=m上,且PA⊥PB,求实数m的取值范围. 【解析】: 9.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A、B是切点. (1)求四边形PACB面积的最小值; (2)直线上是否存在点P,使∠BPA=60°,若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由. 【解析】: 10.圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)证明:不论m取什么数,直线l与圆C恒交于两点; (2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度,并求此时m的值. 【解析】: 11.已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2, 0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点. (1)求圆的方程;(2)当|MN|=2时,求直线l的方程. 【解析】: 12.如图,已知圆O:x2+y2=1和定点A(2,1),由圆O外一点P(a,b)向圆O引切线PQ,切点为Q,且有|PQ|=|PA|. (1)求a、b间关系;(2)求|PQ|的最小值; (3)以P为圆心作圆,使它与圆O有公共点,试在其中求出半径最 小的圆的方程. 【解析】: 题后自我反思: 家长评语: 家长签字: 答案 1.D.提示:设圆心(x,y),则 2.B.提示:直接将动点坐标代如等式,求得点的轨迹是一个以(2,0)为圆心,2为半径的圆. 4.0.提示:依据半径、弦长、弦心距的关系求解. 5、解析:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,说明圆心在直线x+2y=0上,a+2b=0,又(2-a)2+(3-b) 2=r2,而圆与直线x-y+1=0相交的弦长为2,,故r2-()2=2,依据上述方程解得: 或 ∴所求圆的方程为(x-6)2+(y+3)2=52,或(x-14)2+(y+7)2=224. 6、解析:(1)设出直线方程的截距式,用点到直线的距离等于1,化减即得; (2)设AB中点M(x,y),则a=2x,b=2y,代入(a-2)(b-2)=2,得(x-1)(y-1)=(x>1,y>1); (3)由(a-2)(b-2)=2得ab+2=2(a+b)≥4,解得≥2+(≤2-不合,舍去),当且仅当a=b时,ab取最小值6+4,△AOB面积的最小值是3+2. 7.作MC⊥AB交PQ于M,则MC是两圆的公切线.|MC|=|MQ|=|MP|,M为PQ的中点.设M(x,y),则点C,O1,O2的坐标分别为(x,0),(,0), ( ,0) 连O1M,O2M,由平面几何知识知∠O1MO2=90°. ∴|O1M|2+|O2M|2=|O1O2|2,代入坐标化简得:x2+4y2=9(-3<x<3) 8.(1)由题意设P(x0,y0)在圆外,切线l:y-y0=k(x-x0),, ∴(x02-10)k2-2x0·y0k+y02-10=0 由k1+k2+k1k2=-1得点P的轨迹方程是x+y±2=0. (2)∵P(x0,y0)在直线x+y=m上,∴y0=m-x0,又PA⊥PB,∴k1k2=-1,,即:x02+y02=20,将y0=m-x0代入化简得,2x02-2mx0+m2-20=0 ∵△≥0,∴-2≤m≤2,又∵x02+y02>10恒成立,∴m>2,或m<-2 ∴m的取值范围是[-2,-2]∪(2,2] 9.解 (1)如图,连接PC,由P点在直线3x+4y+8=0上,可设P点坐标为(x,-2-x). 圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1, 所以S四边形PACB=2S△PAC=2××|AP|×|AC|=|AP|. 因为|AP|2=|PC|2-|CA|2=|PC|2-1, 所以当|PC|2最小时,|AP|最小. 因为|PC|2=(1-x)2+(1+2+x)2=(x+1)2+9.所以当x=-时,|PC|=9. 所以|AP|min==2.即四边形PACB面积的最小值为2. (2)假设直线上存在点P满足题意. 因为∠APB=60°,|AC|=1,所以|PC|=2. 设P(x,y),则有整理可得25x2+40x+96=0, 所以Δ=402-4×25×96<0.所以这样的点P是不存在的. 10.(1)证明 ∵直线l的方程可化为(2x+y-7)m+(x+y-4)=0(m∈R). ∴l过的交点M(3,1). 又∵M到圆心C(1,2)的距离为d==<5, ∴点M(3,1)在圆内,∴过点M(3,1)的直线l与圆C恒交于两点. (2)解 ∵过点M(3,1)的所有弦中,弦心距d≤,弦心距、半弦长和半径r构成直角三角形,∴当d2=5时,半弦长的平方的最小值为25-5=20. ∴弦长AB的最小值|AB|min=4.此时,kCM=-,kl=-. ∵l⊥CM,∴·=-1,解得m=-. ∴当m=-时,取到最短弦长为4. 11 [解析] (1)设圆A的半径为r, ∵圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,∴r==2, ∴圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20. (2)当直线l与x轴垂直时,则直线l的方程为x=-2, 此时有|MN|=2,即x=-2符合题意. 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的斜率为k, 则直线l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0, ∵Q是MN的中点,∴AQ⊥MN,∴|AQ|2+(|MN|)2=r2. 又∵|MN|=2,r=2,∴|AQ|==1, 解方程|AQ|==1,得k=, ∴此时直线l的方程为y-0=(x+2),即3x-4y+6=0. 综上所得,直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0. 12.解 (1)连接OQ、OP,则△OQP为直角三角形, 又|PQ|=|PA|, 所以|OP|2=|OQ|2+|PQ|2=1+|PA|2, 所以a2+b2=1+(a-2)2+(b-1)2,故2a+b-3=0. (2)由|PQ|2=|OP|2-1=a2+b2-1=a2+9-12a+4a2-1=5a2- 12a+8=5(a-1.2)2+0.8, 得|PQ|min=. (3)以P为圆心的圆与圆O有公共点,半径最小时为与圆O相切的情形,而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径,圆心P为过原点且与l垂直的直线l′与l的交点P0,所以r=-1=-1, 又l′:x-2y=0,联立l:2x+y-3=0得P0(,). 所以所求圆的方程为 (x-)2+(y-)2=(-1)2.