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doc 2019-2020年高二数学竞赛讲座:函数方程 一、 相关知识 函数方程的解是 函数方程 的解是 二、函数方程的题型 许多函数方程的解决仅以初等数学为工具,解法富于技巧,对人类的智慧具有明显的挑战 意味,因此,函数方程是数学竞赛中一种常见的题型。 1、确定函数的形式 尚无一般解法,需因题而异,其解是多样的:有无限多解的,有有限个解的,有可能无解(如:方程无解)。 2、确定函数的性质 3、确定函数值 三、求函数的解析式 1、换元法 例题1、设函数满足条件,求。 例题2、设函数定义于实数集,且满足条件,求。 :函数在处没有定义,但对所有非零实数有:,求。 答案: :求满足条件的。 2、赋值法 例题1、设函数定义于实数集上,且,若对于任意实数、,都有: ,求。 例题2、设函数定义于自然数集上,且,若对于任意自然数、,都有:,求。 四、 究函数的性质 例题、设函数定义于上,且函数不恒为零,,若对于任意实数、,恒有:。 ① 求证: ② 求证: ③ 求证: :若对常数和任意,等式都成立,求证:函数是周期函数。 :设函数定义于实数集上,函数不恒为零,且对于任意实数、,都有:,求证:。