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 版权申诉  doc 2019-2020年高三上学期期中(数学) 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请将答案填写在答题卡相应位置. 1. 函数的最小正周期是 ▲ . 2.设集合,A={2,3,5},B={1,4},则= ▲ . 3.复数(i是虚数单位)的实部是 ▲ . 4.命题“”的否定是 ▲ . 5.已知向量a=,b⊥a,且|b|=2,则向量b的坐标是 ▲ . 6.将函数的图象按向量p=平移后所得图象的解析式是 ▲ . 7.若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为,则|a+b|= ▲ . 8. 在等比数列{an}中,若a3a83a13=243,则的值为 ▲ . 9. 若函数在上是增函数,则m的取值范围是 ▲ . 10. 某地区为了了解70~80岁老人的日平均睡眠时间(单位:h),随机选择了50位老人进行调查. 下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表: 在上述统计数据的分析中,一部分计算见算法流程图,则 输出的S的值是 ▲ . 11. 若关于x的方程kx-lnx=0有解,则k的取值范围是 ▲ . 12. 设等差数列的前n项和为,若,则 ▲ . 13. 设是定义在上的减函数,且对一切都成立,则a的取值范围是 ▲ . 14. 设函数,则下列命题中正确命题的序号是 ▲ . ①当时,在R上有最大值; ②函数的图象关于点对称; ③方程=0可能有4个实根; ④当时,在R上无最大值; ⑤一定存在实数a,使在上单调递减. 二、解答题:本大题共6题,共90分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分14分) 设{an}是公比为q的等比数列,试用a1,q,n ()表示Sn=. 16.(本小题满分14分) 如图,一个半径为10m的水轮按逆时针方向每分钟转4圈,记水轮上的点P到水面的 距离为d(m)(P在水下,则d为负数),则d与时间t(s)之间满足关系式: ,且当点P从水面上浮现时开始计算时间. 现有以下四个结论:①;②;③;④b=5. (1)直接写出正确结论的序号; (2)对你认为正确的结论予以证明,并改正错误的结论. 17. (本题满分14分) 定义在R上的奇函数有最小正周期2,且当时,. (1)求在[-1,0)上的解析式; (2)判断在(-2,-1)上的单调性,并给予证明. 18.(本题满分14分) 已知△ABC的面积为,且,向量和 是共线向量. (1)求角C的大小;(2)求△ABC的三边长. 19.(本题满分16分) 已知二次函数的图象经过点(0,1),其导函数,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)均在函数的图象上. (1)求数列{an}的通项公式an和; (2)设,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m. 20.(本小题满分18分) 已知函数(a,b均为正常数). (1)求证:函数f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点; (2)设函数在处有极值. ①对于一切,不等式恒成立,求b的取值范围; ②若函数f (x)在区间上是单调增函数,求实数m的取值范围. xx届高三期中考试 【填空题答案】 1.2  2.{6} 3. 4. 5. 或 6.   7. 8. 3 9. 10. 6.42 11. 12. 13. 14. ①③⑤ 二、解答题:本大题共6题,共90分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分14分) 设{an}是公比为q的等比数列,试用a1,n,q()表示Sn=. 【解】因为{an}是公比为q的等比数列,所以.……………………2分 于是Sn=即 . ① …………………4分 在上式两边同乘以q,得 , ②……………………6分 由①-②得 …………………………8分 所以,当时,. ……………………… 10分 显然,当q=1时, ……………………… 12分 故 ……………………… 14分 16.(本小题满分14分) 如图,一个半径为10m的水轮按逆时针方向每分钟转4圈,记水轮上的点P到水面的 距离为d(m)(P在水下,则d为负数),则d与时间t(s)之间满足关系式: ,且当点P从水面上浮现时开始计算时间. 现有以下四个结论:①;②;③;④b=5. (1)直接写出正确结论的序号; (2)对你认为正确的结论予以证明,并改正错误的结论. 【解】(1)① ④. …………………………6分 (2)由题意得,点P在最高位置时,d=15m, 点P在最低位置时,d=-5m,于是有 解得A=10,b=5,故①和④都是正确的. ……………………… 10分 由于水轮按逆时针方向每分钟转4圈,故它的周期是T=15. 所以. ……………………… 12分 由题意得t=0时,d=0,所以. 因为,所以. ……………………… 14分 17. (本题满分14分) 定义在R上的奇函数有最小正周期2,且当时,. (1)求在[-1,0)上的解析式; (2)判断在(-2,-1)上的单调性,并给予证明. 【解】(1)因为奇函数的定义域为R,周期为2, 所以,且,于是……………………2分 当时,, .  …………………………5分 所以在[-1,0)上的解析式为……………………7分 (2)在(-2,-1)上是单调增函数. …………………………9分 先讨论在(0,1)上的单调性. [方法1]设, 则 因为,所以,于是, 从而,所以在(0,1)上是单调增函数.  ……………………… 12分 因为的周期为2,所以在(-2,-1)上亦为单调增函数. ……………… 14分 [方法2]当时,. 因为ln2>0,,所以, 所以在(0,1)上是单调增函数. ……………………… 12分 因为的周期为2,所以在(-2,-1)上亦为单调增函数. ……………… 14分 【注】第(2)小题亦可利用周期性求出,再利用定义或导数确定单调性. 18.(本题满分14分) 已知△ABC的面积为,且,向量和 是共线向量. (1)求角C的大小; (2)求△ABC的三边长. 【解】(1)因为向量和是共线向量, 所以, …………………………2分 即sinAcosB+cosAsinB-2sinCcosC=0, 化简得sinC-2sinCcosC=0,即sinC(1-2cosC)=0. …………………………4分 因为,所以sinC>0,从而, …………………………6分 (2),于是AC. ………………8分 因为△ABC的面积为,所以, 即,解得 ……………………… 11分 在△ABC中,由余弦定理得 所以 ……………………… 14分 19.(本题满分16分) 已知二次函数的图象经过点(0,1),其导函数,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)均在函数的图象上. (1)求数列{an}的通项公式an和; (2)设,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得对所有都成立的最 小正整数m. 【解】(1)由题意,可设. 因为函数的图象经过点(0,1),所以. 而,所以a=3,b=-2. 于是. …………………………3分 因为点(n,Sn)均在函数的图象上,所以Sn.…………5分 所以a1=S1=2,当时,, 故   …………………………8分 (2) ……………………… 10分 所以当n>1时, . ……………………… 12分 对所有都成立对所有都成立 故所求最小正整数m为6. ……………………… 16分 20.(本小题满分18分) 已知函数(a,b均为正常数). (1)求证:函数f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点; (2)设函数在处有极值. ①对于一切,不等式恒成立,求b的取值范围; ②若函数f(x)在区间上是单调增函数,求实数m的取值范围. 【证】(1)因为, , 所以函数f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点. …………………………4分 【解】(2). …………………………6分 因为函数在处有极值,所以,即,所以a=2. 于是.  …………………………8分 ①, 于是本小题等价于对一切恒成立. 记,则 因为,所以,从而, 所以,所以,即g(x)在上是减函数. 所以,于是b>1,故b的取值范围是………………… 12分 ②, 由得,即 ……………………… 14分 因为函数f(x)在区间上是单调增函数, 所以, 则有 即 只有k=0时,适合,故m的取值范围是 ……………………… 18分


















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