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2019-2020年高考数学复习 第107-110课时第十四章 复数-复数的代数形式及其运算名师精品教案 新人教A版.doc

 版权申诉  doc 2019-2020年高考数学复习 第107-110课时第十四章 复数-复数的代数形式及其运算名师精品教案 新人教A版 一.教学目标: 掌握复数的基本题型,主要是讨论复数的概念,复数相等,复数的几何表示,计算复数模,共轭复数,解复数方程等。 二.教学重点:复数的几何表示,计算复数模,共轭复数,解复数方程等。 三.教学过程: (一)主要知识: 1.共轭复数规律,; 2.复数的代数运算规律 (1)i=1,i=i,i=1,i=i; (3)i·i·i·i=1,i+i+i+i=0; ; 3.辐角的运算规律 (1)Arg(z·z)=Argz+Argz (3)Arg=nArgz(n∈N) …,n1。 或z∈R。 要条件是|z|=|a|。 (6)z·z≠0,则 4.根的规律:复系数一元n次方程有且只有n个根,实系数一元n次方程的虚根成对共轭出现。 5.求最值时,除了代数、三角的常规方法外,还需注意几何法及不等式 ||z||z||≤|z±z|≤|z|+|z|的运用。 即|z±z|≤|z|+|z|等号成立的条件是:z,z所对应的向量共线且同向。 |z±z|≥|z||z|等号成立的条件是:z,z所对立的向量共线且异向。 (二)范例分析 Ⅰ.xx年高考数学题选 1.(xx高考数学试题(浙江卷,6))已知复数z1=3+4i, z2=t+i, 且是实数,则实数t=( ) A. B. C.- D.- 2.(xx年北京春季卷,2)当时,复数在复平面上对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(xx年北京卷,2)满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是( C ) A.一条直线 B.两条直线 C.圆 D.椭圆 Ⅱ.主要的思想方法和典型例题分析: 1.化归思想 复数的代数、几何、向量及三角表示,把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有机地联系在一起,这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。反之亦然。这种化归的思想方法应贯穿复数的始终。 【分析】这是解答题,由于出现了复数和,宜统一形式,正面求解。 解法一、设z=x+yi(x,y∈R),原方程即为 用复数相等的定义得: ∴=1,=1+3i. 两边取模,得: 整理得 解得 或 代入①式得原方程的解是=1,=1+3i. 【例2】(1993·全国·理)设复数z=cosθ+isinθ(0< 【解】∵z=cosθ+isinθ=cos4θ+isin4θ 即,又∵0<θ<π,当时,或 【说明】此题转化为三角问题来研究,自然、方便。 【例3】设a,b,x,y∈R+,且(r>0), 求证: 分析令=ax+byi,==bx+ayi(a,b,x,y∈R+),则问题化归为证明: ||+||≥r(a+b)。 证明设=ax+byi,=bx+ayi(a,b,x,y∈R+),则 =|(a+b)x+(a+b)yi|=|(a+b)(x+yi)|=(a+b)·r。 解如图所示,设点Q,P,A所对应的复数为: 即(x3a+yi)·(i)=(x3a+yi) 由复数相等的定义得 而点(x,y)在双曲线上,可知点P的轨迹方程为 【说明】将复数问题化归为实数、三角、几何问题顺理成章,而将实数、三角、几何问题化归为复数问题,就要有较强的联想能力和跳跃性思维能力,善于根据题设构造恰到好处的复数,可使问题迎刃而解。 2.分类讨论思想 分类讨论是一种重要的解题策略和方法。在复数中它能使复杂的问题简单化,从而化整为零,各个击破。高考复数考题中经常用到这种分类讨论思想方法。 【例5】(1990·全国·理)设a≥0,在复数集C中解方程z+2|z|=a。 分析一般的思路是设z=x+yi(x,y∈R),或z=r(cosθ+isinθ),若由z+2|z|=a转化为z=a2|z|,则z∈R。从而z为实数或为纯虚数,这样再分别求解就方便了。 总之,是一个需要讨论的问题。 【解】解法一∵z=a2|z|∈R,∴z为实数或纯虚数。 ∴问题可分为两种情况: (1)若z∈R,则原方程即为|z|+2|z|a=0, (2)若z为纯虚数,设z=yi(y∈R且y≠0),则原方程即为|y|2|y|+a=0 当a=0时,|y|=2即z=±2i。 当0<a≤1时, 当a>1时,方程无实数解,即此时原方程无纯虚数解。 综上所述,原方程: 当a=0时,解为z=0或z=±2i 解法二设z=x+yi,x,y∈R,将原方程转化为 3.数形结合思想 数与形是数学主要研究内容,两者之间有着紧密的联系和互相渗透、互相转化的广阔前景,复平面的有关试题正是它的具体表现。运用数形结合思想与方法解题是高考考查的热点之一,应引起注意。 【例6】已知|z|=1,且z+z=1,求z。 【解】由z+z=1联想复数加法的几何性质,不难发现z,z,1所对应的三点A,B,C及原点O构成平行四边形的四个顶点,如图所示, 【说明】这样巧妙地运用联想思维,以数构形,以形思数,提炼和强化数形结合的思想方法,有利于培养学生思维的深刻性。 【例7】复平面内点A对应复数z,点B对应复数为,O为原点,△AOB是面积为的直角三角形,argz∈(0,),求复数z的值. x O A B y 图1 【分析】哪一个角为直角,不清楚,需要讨论. 【解】因|OA|=|z|>||=|OB|,故∠A不可能是直角,因而可能∠AOB=90º或∠ABO=90º. x O A B y 图2 若∠AOB=90º,示意图如图1所示.因z与所对应的点关于实轴对称,故argz=45º, S△AOB=|OA|·|OB|=|z|·||=|z|2=.于是,|z|=2, 从而,z=2(cos45º+isin45º)=+i. 若∠ABO=90º,示意图如图2所示.因z与所对应的点关于实轴对称,且∠AOB<90º,故argz=θ<45º. 令z=r(cosθ+isinθ),则 cos2θ==,sin2θ=,S△AOB=|OA|·|OB|·sin2θ =r·r·=r2=. 于是,r=. 又cosθ==, sinθ==, 故z=(+i)=2+i. 综上所述,z=+i或z=2+i. 【说明】①解题关键点:正确地对直角的情况进行分类讨论,正确地理解复数的几何意义,作出满足条件的示意图. ②解题规律:复数的几何意义来源于复数z=a+bi(a、b∈R)与复平面上的点(a,b)之间的一一对应,它沟通了复数与解析几何之间的联系,是数形结合思想的典型表示. ③解题技巧:复数z与它的共轭复数在复平面内对应的向量关于实轴对称. ④这样巧妙地以形译数,数形结合,不需要计算就解决了问题,充分显示了数形结合的思想方法在解题中的作用。 4.集合对应思想 【例8】如图所示,在复平面内有三点P,P,P对应的复数 应的复数为a,2a,3a,且它们有相同的辐角主值θ(如图所示),即A,P,P,P共线。 从而2sinθ=2 因此有a=±2i。 5.整体处理思想 解复数问题中,学生往往不加分析地用复数的代数形式或三角形式解题。这样常常给解题带来繁琐的运算,导致解题思路受阻。因此在复数学习中,有必要提炼和强化整体处理的思想方法,居高临下地把握问题的全局,完善认识结构,获得解题的捷径,从而提高解题的灵活性及变通性。 【例9】已知z=2i,求z3z+z+5z+2的值。 【分析】如果直接代入,显然比较困难,将z用三角式表示也有一定的难度。从整体角度思考,可将条件转化为(z2)=(i)=1,即z4z+4=1,即z4z+5=0,再将结论转化为z3z+z+5z+2=(z4z+5)(z+z)+2,然后代入就不困难了。 【解】∵z=2i,∴(z2)=(i)=1 即z4z+5=0 ∴z3z+z+5z+2=(z4z+5)(z+z)+2=2。 【例10】已知,求。 【解】解由条件得 【说明】把题中一些组合式子视作一个“整体”,并把这个“整体”直接代入另一个式子,可避免由局部运算带来的麻烦。 【例11】复平面上动点z的轨迹方程为:|zz|=|z|,z≠0,另一动点z满足z·z=1,求点z的轨迹。 解由|zz|=|z|,知点z的轨迹为连结原点O和定点z的线段的垂直平分线。 将此式整体代入点z1的方程,得 的圆(除去原点)。 【例12】设z∈c,a≥0,解方程z|z|+az+i=0。 边取模,得 【说明】解复数方程,可通过整体取模,化为实数方程求解。 综上所述,解答复数问题,应注意从整体上去观察分析题设的结构特征,挖掘问题潜在的特殊性和简单性,充分利用复数的有关概念、共轭复数与模的性质、复数的几何意义以及一些变形技巧,对问题进行整体化处理,可进一步提高灵活、综合应用知识的能力。 6.有关最值问题的多角度思考 【例13】复数z满足条件|z|=1,求|2zz+1|的最大值和最小值。 解法一|z|=1,∴z=cosθ+isinθ ∴|2zz+1|=|2(cosθ+isinθ)(cosθ+isinθ)+1| =|(2cos2θcosθ+1)+(2sin2θsinθ)i| ∴|2zz+1|=|2zz+| 设z的实部为a,则1≤a≤1 |2zz+1|=|2a+z1| , ∴|2zz+1|=4 解法三:设ω=x+yi(x,y∈R),z=a+bi(a,b∈r)且a+b=1, 这说明ω对应的点是如图所示的椭圆,问题转化为求该椭圆上各点中与原点距离的最大值和最小值。 时的圆的半径。 得8x2x+89r=0, 由相内切条件知Δ=0, 解法四由模不等式: |2zz+1|≤2|z|+|z|+1=4,等号成立的条件是2z,z,1所对应的向量共线且同向,可知z是负实数,在|z|=1的条件下,z=-1 ∴当z=1时|2zz+1|=4。 但另一方面:|2zz+1|≥2|z||z|1=0,这是显然成立的,可是这不能由此确定|2zz+1|=0,实际上等号成立的条件应为2z,z,1表示的向量共线且异向,由2z与1对应的向量共线且异向知z=±i,但是当z=±i时,2z与z不共线,这表明|2zz+1|的最小值不是0。 以上这种求最小值的错误想法和解法是学生易犯的错误,此部分内容既为重点也为难点,应向学生强调说明,并举例,切记取等号的条件。 【例14】xx年普通高等学校招生全国统一考试(理18) 已知复数z1=i(1—i)3. (Ⅰ)求argz1及|z|; (Ⅱ)当复数z满足|z|=1,求|z—z1|的最大值. 【分析】本小题考查复数的基本性质和基本运算,以及分析问题和解决问题的能力. 【解】(Ⅰ) ∴,|z1|=. (Ⅱ)设,则 当时,取得最大值,从而得到的最大值为. 四.课后作业: 1、下列命题中正确的是 [ ] A.方程|z+5||z5i|=8的图形是双曲线 B.方程|z+5|=8的图形是双曲线 C.方程|z+5i||z5i|=8的图形是双曲线的两支 D.方程|z+5i||z5i|=8的图形是双曲线靠近焦点F(0,5)的一支 2、方程的图形是 [ ] A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.直线 3、在复平面上绘出下列图形: 4、已知是虚数,是实数。 (1)求z对应复平面内动点A的轨迹; (2)设u=3iz+1,求u对应复平面内动点B的轨迹; (3)设,求对应复平面内动点C的轨迹。 5、设A,B,C三点对应的复数分别为z,z,z满足 (1)证明:△ABC是内接于单位圆的正三角形; (2)求S△ABC; 6、若,求所对应的点A的集合表示的图形,并求其面积. 7.设z1,z2是两个虚数,且z1+z2=-3,|z1|+|z2|=4.若θ1=argz1,θ2=argz2,求cos(θ1-θ2)的最大值. 8.(xx年普通高等学校招生全国统一考试(上海理17)) 已知复数z1=cosθ-i,z2=sinθ+i,求|z1·z2|的最大值和最小值. 四、专题训练参考答案 1、解:DA的图形是直线,B的图形是圆,C是图形是双曲线的一去.故选D.||z+5i|-|z-5i||=8才是双曲线的两支. 2、解:A原方程即|z(2+i)|=7.故选A. 3、解: 4、解:(1)因为z是虚数,所以,于是,即,且,因此动点A轨迹是中心在原点,半径等于2的圆,但去掉两个点(2,0)与(2,0). (2)由u=3iz+1得u1=3iz.由(1)及题设知|z|=2,z≠±2,所以 |u1|=6,且u1≠±6i 因此动点B的轨迹是圆,中心在(1,0),半径等于6,但去掉两点(1,6)与(1,6). (3)设z=2(cosθ+isinθ),(θ≠0,π)则 再令v=x+yi(x,y∈R),则 5、解:(1)由(ii)知A,B,C三点都在单位圆上.再结合(i)得 z=(z+z) 设BC中点为D,它对应复数为z,那么 由于正三角形的外接圆与内切圆的圆心合一,因此△ABC的内切圆圆心 6、 因此动点A的图形是一个圆环.设此圆环面积为S,那么 7.解:设|z1|=r,则|z2|=4-r(0<r<4).将z1=r(cosθ1+isinθ1),z2=(4–r)(cosθ2+isinθ2),代入z1+z2=-3,得 两式平方相加,得r2+(4-r)2+2r(4-r)(cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2)=9, 于是cos(θ1-θ2)==1+,




























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